Question

a是實(shí)數(shù)，f(x)=a-

2

2x+1

(x∈R)，用定義證明：對于任意a，f（x）在R上為增函數(shù)．

Answer 1

分析：設(shè)兩個(gè)實(shí)數(shù)數(shù)x₁、x₂∈R，且x₁＜x₂，將f（x₁）與f（x₂）作差變形整理，再討論得f（x₁）＜f（x₂），由此即可得到f(x)=a-

2

2x+1

在區(qū)間（0，2）上為減函數(shù)．

解答：證明：設(shè)x₁，x₂∈R，x₁＜x₂，則
f（x₁）-f（x₂）=(a-

2

2x1+1

)-(a-

2

2x2+1

)-------------（2分）
=

2

2x2+1

-

2

2x1+1

=

2(2x1-2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

，-----------------（4分）
∵指數(shù)函數(shù)y=2^x在R上是增函數(shù)，且x₁＜x₂，
∴2x1＜2x2，可得2x1-2x2＜0，---------------------（6分）
又∵2^x＞0，得2x1+1＞0，2x2+1＞0，--------------（8分）
∴f（x₁）-f（x₂）＜0即f（x₁）＜f（x₂），
由此可得，對于任意a，f（x）在R上為增函數(shù)．----------（10分）

點(diǎn)評：本題通過證明一個(gè)函數(shù)在給定區(qū)間上為增函數(shù)，考查了用定義證明函數(shù)單調(diào)性的知識，屬于基礎(chǔ)題．