【題目】已知點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),橢圓C:(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,離心率為,點(diǎn)I,J分別是橢圓C的右頂點(diǎn)、上頂點(diǎn),△IOJ的邊IJ上的中線長(zhǎng)為.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)過(guò)點(diǎn)H(-2,0)的直線交橢圓C于A,B兩點(diǎn),若AF1⊥BF1,求直線AB的方程.
【答案】(1)(2)x-2y+2=0或x+2y+2=0
【解析】
(1)由直角三角形中線性質(zhì)得到,再根據(jù)條件得到求解即可;(2)設(shè)出直線AB,聯(lián)立直線和橢圓得到二次方程,由AF1⊥BF1,得到,整理得(1+2k2)(x1+x2)+(1+k2)x1x2+1+4k2=0,代入韋達(dá)定理即可.
(1)由題意得△IOJ為直角三角形,且其斜邊上的中線長(zhǎng)為,所以.
設(shè)橢圓C的半焦距為c,則
解得
所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
(2)由題知,點(diǎn)F1的坐標(biāo)為(-1,0),顯然直線AB的斜率存在,
設(shè)直線AB的方程為y=k(x+2)(k≠0),點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2).
聯(lián)立消去y,得(1+2k2)x2+8k2x+8k2-2=0,
所以Δ=(8k2)2-4(1+2k2)(8k2-2)=8(1-2k2)>0,所以.(*)
且,.
因?yàn)?/span>AF1⊥BF1,所以,
則(-1-x1,-y1)·(-1-x2,-y2)=0,
1+x1+x2+x1x2+y1y2=0,
1+x1+x2+x1x2+k(x1+2)·k(x2+2)=0,
整理,得(1+2k2)(x1+x2)+(1+k2)x1x2+1+4k2=0.
即.
化簡(jiǎn)得4k2-1=0,解得.
因?yàn)?/span>都滿足(*)式,所以直線AB的方程為或.
即直線AB的方程為x-2y+2=0或x+2y+2=0.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù) f(x)=ax+(1﹣a)lnx+(a∈R)
(Ⅰ)當(dāng)a=0時(shí),求 f(x)的極值;
(Ⅱ)當(dāng)a<0時(shí),求 f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅲ)方程 f(x)=0的根的個(gè)數(shù)能否達(dá)到3,若能請(qǐng)求出此時(shí)a的范圍,若不能,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè).
(1)若,求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)若,問(wèn):是否存在實(shí)數(shù)c使得對(duì)所有成立?證明你的結(jié)論.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】將邊長(zhǎng)為的正方形沿對(duì)角線折疊,使得平面平面,平面,是的中點(diǎn),且.
(1)求證:;
(2)求二面角的大。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知在等比數(shù)列{an}中,=2,,=128,數(shù)列{bn}滿足b1=1,b2=2,且{}為等差數(shù)列.
(1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式;
(2)求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在三棱錐P﹣ABC中,AB=1,BC=2,AC,PC,PA,PB,E是線段BC的中點(diǎn).
(1)求點(diǎn)C到平面APE的距離d;
(2)求二面角P﹣EA﹣B的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在四棱錐P-ABCD中,ABCD為梯形,AB//CD,BC⊥AB,AB=2,BC=,CD=PC=。
(I)點(diǎn)E在線段PB上,滿足CE//平面PAD,求的值。
(II)已知AC與BD的交點(diǎn)為M,若PM=1,且平面PAC⊥平面ABCD,求二面角P-BC-M平面角的余弦值。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形,點(diǎn)D、E分別是邊AB、AC上的點(diǎn),且滿足,如圖,將沿DE折成四棱錐,且有平面平面BCED.
求證:平面BCED;
記的中點(diǎn)為M,求二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為,若曲線與曲線關(guān)于直線對(duì)稱.
(1)求曲線的直角坐標(biāo)方程;
(2)在以為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,射線與的異于極點(diǎn)的交點(diǎn)為,與的異于極點(diǎn)的交點(diǎn)為,求.
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