求證:質(zhì)數(shù)有無(wú)窮多.

證明:如果質(zhì)數(shù)的個(gè)數(shù)有限,那么我們可以將全體質(zhì)數(shù)列舉如下:P1,P2,…,Pk,命Q=P1P2…Pk+1.

Q總是有質(zhì)因數(shù)的,但我們可證明任何一個(gè)Pi(1≤i≤k)都除不盡Q.假若不然,由Pi除盡Q,及Pi除盡P1P2…Pk可得到Pi除盡(Q-P1P2…Pk),即Pi除盡1,這是不可能的.故任何一個(gè)Pi都除不盡Q.這說(shuō)明Q有不同于P1、P2,…,Pk的質(zhì)因數(shù).這與只有P1,P2,…,Pk是全體質(zhì)數(shù)的假定相矛盾.所以質(zhì)數(shù)有無(wú)窮多.

點(diǎn)評(píng):本題是利用反證法證明數(shù)學(xué)中的一個(gè)基礎(chǔ)命題,本命題若用直接方法來(lái)證明非常困難,因此宜用反證法

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