Question

某大學(xué)對在校的學(xué)生進(jìn)行素質(zhì)拓展測試．在待測試的某一個(gè)小組中有男、女生共10人（其中女生人數(shù)多于男生人數(shù)），如果從中隨機(jī)選2人參加測試，其中恰為一男一女的概率為．
（Ⅰ）求該小組中女生的人數(shù)；
（Ⅱ）若從中隨機(jī)選3人參加測試，求所選的三人恰為兩名男生一名女生的概率；
（Ⅲ）假設(shè)此項(xiàng)測試對該小組的學(xué)生而言，每個(gè)女生通過的概率均為，每個(gè)男生通過的概率均為；現(xiàn)對該小組中男生甲、男生乙和女生丙3個(gè)人進(jìn)行測試，記這3人中通過測試的人數(shù)為隨機(jī)變量ξ，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

【答案】分析：（I）設(shè)出該小組中有n個(gè)女生，根據(jù)古典概型的概率公式得到比值，等于恰為一男一女的概率，解出關(guān)于n的方程．
（Ⅱ）根據(jù)古典概型的概率公式得到恰為兩名男生一名女生的概率P=．
（Ⅲ）由題意知ξ的取值為0，1，2，3，集合變量對應(yīng)的事件，和獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式，得到變量對應(yīng)的概率，寫出分布列，求出期望值．
解答：解：（Ⅰ）設(shè)該小組中有n個(gè)女生，
由題意，得，…（2分）
解得n=6或n=4（舍），
所以該小組有6名女生．…（4分）
（Ⅱ）恰為兩名男生一名女生的概率P=…（7分）
（Ⅲ）由題意，ξ的取值為0，1，2，3，
P（ξ=0）==，
P（ξ=1）=C×=，
P（ξ=2）=×=，
P（ξ=3）==．…（11分）
所以ξ的分布列為：

ξ		1	2	3
P

所以Eξ=0×+1×+2×+3×=．…（13分）
點(diǎn)評：本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，考查古典概型的概率公式，考查獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式，考查利用概率與統(tǒng)計(jì)的知識(shí)解決實(shí)際問題．