Question

已知函數(shù)f（x）=ln（1+x）-mx．
（Ⅰ）若f（x）為（0，+∞）上的單調(diào)函數(shù)，試確定實數(shù)m的取值范圍；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在定義域上的極值；
（Ⅲ）設(shè)，求證：a_n＞ln2．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由題意得所以，所以m≤0時，f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，m≥1時，f'（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減．
（Ⅱ）因為函數(shù)的定義域是（-1，∞）所以當(dāng)m≤0時＞0所以此時f（x）沒有極值；
當(dāng)m＞0時，由f'（x）＞0得，由f'（x）＜0得，故當(dāng)時，f（x）有極大值．
（Ⅲ）由（Ⅰ）知m=1時，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，所以f（x）＜f（0），即ln（1+x）＜x（x＞0），．
解答：解：（Ⅰ）
∵
∴m≤0時，f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增
∴m≥1時，f'（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減
∴m的取值范圍為（-∞，0]∪[1，+∞）單調(diào)函數(shù)；
（Ⅱ）①當(dāng)m≤0時，f'（x）＞0，f（x）為定義域上的增函數(shù)，
∴f（x）沒有極值；
②當(dāng)m＞0時，由f'（x）＞0得；
由f'（x）＜0得∴上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減．
故當(dāng)時，f（x）有極大值，但無極小值．
（Ⅲ）由（Ⅰ）知m=1時，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減
∴f（x）＜f（0），即ln（1+x）＜x（x＞0），
令，得
所以=．
所以a_n＞ln2．
點評：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值與函數(shù)的單調(diào)性，在研究函數(shù)的性質(zhì)時要注意函數(shù)的定義域．并且利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式，這是高考考查的重點也是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點．