Question

關(guān)于x的方程x²+（a+1）x+a+b+1=0（a≠0，a、b∈R）的兩實(shí)數(shù)根為x₁、x₂，若0＜x₁＜1＜x₂，則

b

a

的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：簡(jiǎn)單線性規(guī)劃的應(yīng)用,根與系數(shù)的關(guān)系

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：先利用二次方程根的分布得出關(guān)于a，b的約束條件，再根據(jù)約束條件畫出可行域，設(shè)z=

b

a

，再利用z的幾何意義求最值，只需求出直線z=

b

a

過(guò)可行域內(nèi)的點(diǎn)A或點(diǎn)C時(shí)，z分別、取得最小或最大，從而得到

b

a

的取值范圍．

解答： 解：設(shè)f（x）=x²+（a+1）x+a+b+1=0，則由題意可得方程f（x）=0的兩實(shí)根x₁，x₂滿足0＜x₁＜1＜x₂的
充要條件是

f(0)=a+b+1＞0 f(1)=2a+b+3＜0 - a+1 2 ＞0

，即

a+b+1＞0 2a+b+3＜0 a＜-1

，畫出點(diǎn)（a b）的范圍，如圖所示：
A（1，0）、B（-2，1）、C（-1，-1）．
而z=

b

a

=

b-0

a-0

 表示可行域內(nèi)的點(diǎn)（a，b）與原點(diǎn)O（0，0）連線的斜率，
故當(dāng)直線z=

b

a

經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（-2，1）時(shí)，z取得最小值為-

1

2

；故當(dāng)直線z=

b

a

經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（-1，-1）時(shí)，z取得最大值為1，
故z=

b

a

的范圍為[-

1

2

，1]，
故答案為：[-

1

2

，1]．

點(diǎn)評(píng)：本小題是一道以二次方程的根的分布為載體的線性規(guī)劃問(wèn)題，考查化歸轉(zhuǎn)化和數(shù)形結(jié)合的思想，能力要求較高，屬于中檔題．