Question

如圖，已知三棱錐S-ABC中，底面△ABC是邊長為2的正三角形，SC=1，∠SCA=90°，側面SAC與底面ABC所成二面角為60°，E、D分別為SA和AC的中點．
（1）求點S到平面BDE的距離；
（2）求三棱錐S-ABC的體積．

Answer 1

【答案】分析：（1）確定點S到平面BDE的距離等于點C到平面BDE的距離，利用等面積，即可求解；
（2）利用三棱錐的體積公式，即可求出結論．
解答：解：（1）∵E、D分別為SA和AC的中點，
∴ED∥SC
∵∠SCA=90°，
∴ED∥AC，
∴點S到平面BDE的距離等于點C到平面BDE的距離，設為h，
∵底面△ABC是邊長為2的正三角形
∴BD⊥AC
∵側面SAC與底面ABC所成二面角為60°
∴∠BDE=60°
∵底面△ABC是邊長為2的正三角形，SC=1，
∴=
∵E到平面DBC的距離為，S_△BDC=
∴由等體積可得
∴h=1；
（2）∵E到平面DBC的距離為，∴S到平面DBC的距離為，
∵
∴三棱錐S-ABC的體積為=．
點評：本題考查點面距離的計算，考查三棱錐體積的計算，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．