Question

已知F₁（-

2

，0）和F₂（

2

，0），點T（x，y）滿足|

TF1

|+|

TF2

|=4，O為直角坐標原點．
（1）求點T的軌跡M的方程；
（2）過點（0，1）且斜率k=

2

2

的一條直線與軌跡M相交于點P、Q兩點，OP、OQ所在的直線的斜率分別是k_OP、k_OQ，求k_OP•k_OQ的值．

Answer 1

考點：軌跡方程,直線的斜率

專題：計算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）由題意可知點T的軌跡是以F₁、F₂為焦點的橢圓，其中 a=2，c=

2

，b=

a2-c2

=2，由此能夠推導出點T的軌跡方程．
（2）先求出直線l的方程，與橢圓方程聯(lián)立求出x₁x₂以及y₁y₂=-

1

2

代入k_OP•k_OQ即可得到結論．

解答： 解：（1）∵|

TF1

|+|

TF2

|=4＞|F₁F₂|=2

2

，
∴點T的軌跡M是以F₁，F(xiàn)₂為焦點的橢圓，
其中a=2，c=

2

，b=

a2-c2

=2，
故點T的軌跡方程為

x2

4

+y²=1；
（2）設過點（0，1）且斜率k=

2

2

的直線方程為：y=

2

2

x+1，
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
聯(lián)立橢圓方程：

x2

4

+y²=1，消去y，得x²+

2

x-1=0，則x₁x₂=-1；
同理消去x，得到2y²-2y-1=0，則y₁y₂=-

1

2

，
故k_OP•k_OQ=

y1y2

x1x2

=

1

2

．

點評：本題綜合考查橢圓的定義、方程和性質及其應用和直線與橢圓的位置關系，考查運算能力，解題時要認真審題，仔細解答，避免出現(xiàn)不必要的錯誤．