Question

已知數列的前項和為，且滿足 ()，，設，．

（1）求證：數列是等比數列；

（2）若≥，，求實數的最小值；

（3）當時，給出一個新數列，其中，設這個新數列的前項和為，若可以寫成 (且)的形式，則稱為“指數型和”．問中的項是否存在“指數型和”，若存在，求出所有“指數型和”；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）根據等比數列的定義，相鄰兩項的比值為定值。

（2）-9

（3）①當為偶數時，，存在正整 數，使得，，,，所以且，

相應的，即有，為“指數型和”；        

②當為奇數時，，由于是個奇數之和，仍為奇數，又為正偶數，所以不成立，此時沒有“指數型和

【解析】

試題分析：解：（1），，，當時，

=2，所以為等比數列． ，．

（2） 由（1）可得   

；  ，   ，

所以，且．所以的最小值為-9

（3）由（1）當時 ，

當時，，，

所以對正整數都有．                   

由，，(且)，只能是不小于3的奇數．

①當為偶數時，，

因為和都是大于1的正整數，

所以存在正整 數，使得，，

,，所以且，

相應的，即有，為“指數型和”；        

②當為奇數時，，由于是個奇數之和，

仍為奇數，又為正偶數，所以不成立，此時沒有“指數型和”

考點：數列和函數的 綜合運用

點評：解決的關鍵是能利用數列的定義和數列的單調性來求解參數的值，同事能借助于新定義來求解，屬于基礎題。