Question

1．已知函數(shù)f（x）=|kx+1|+|kx-2k|，g（x）=x+1．
（1）當k=1時，求不等式f（x）＞g（x）的解集；
（2）若存在x₀∈R，使得不等式f（x₀）≤2成立，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）問題轉(zhuǎn)化為|x-2|+|x-1|-x-1＞0，設函數(shù)y=|x-2|+|x-1|-x-1，通過討論x的范圍求出不等式的解集即可；
（2）問題 等價于|2k-1|≤2，解出即可．

解答 解（1）k=1時，不等式f（x）＞g（x）化為：|x-2|+|x-1|-x-1＞0，
設函數(shù)y=|x-2|+|x-1|-x-1，則y=$\left\{\begin{array}{l}{2-3x，x＜1}\\{-x，1≤x≤2}\\{x-4，x＞2}\end{array}\right.$，
令y＞0，解得：x＞4或x＜$\frac{2}{3}$，
∴原不等式的解集是{x|x＜$\frac{2}{3}$或x＞4}；
（2）∵f（x）-|kx-1|+|kx-2k|＞|kx-1-kx+2k|-|2k-1|，
∴存在x₀∈R，使得不等式f（x₀）≤2成立
等價于|2k-1|≤2，解得：-$\frac{1}{2}$≤k≤$\frac{3}{2}$，
故所求實數(shù)k的范圍是[-$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{2}$]．

點評 本題考查了絕對值不等式問題，考查函數(shù)恒成立問題以及分類討論思想，是一道中檔題．