Question

二次函數(shù)f（x）滿足f（x+1）-f（x）=2x，且f（0）=1．
（1）求f（x）的解析式；
（2）在區(qū)間[-1，1]上，y=f（x）的圖象恒在y=2x+m的圖象上方，試確定實數(shù)m的范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）先設f（x）=ax²+bx+c，在利用f（0）=1求c，再利用兩方程相等對應項系數(shù)相等求a，b即可．
（2）轉(zhuǎn)化為x²-3x+1-m＞0在[-1，1]上恒成立問題，找其在[-1，1]上的最小值讓其大于0即可．
解答：解：（1）設f（x）=ax²+bx+c，由f（0）=1得c=1，故f（x）=ax²+bx+1．
因為f（x+1）-f（x）=2x，所以a（x+1）²+b（x+1）+1-（ax²+bx+1）=2x．
即2ax+a+b=2x，所以，∴，
所以f（x）=x²-x+1
（2）由題意得x²-x+1＞2x+m在[-1，1]上恒成立．即x²-3x+1-m＞0在[-1，1]上恒成立．
設g（x）=x²-3x+1-m，其圖象的對稱軸為直線，所以g（x）在[-1，1]上遞減．
故只需g（1）＞0，即1²-3×1+1-m＞0，
解得m＜-1．
點評：本題考查了二次函數(shù)解析式的求法．二次函數(shù)解析式的確定，應視具體問題，靈活的選用其形式，再根據(jù)題設條件列方程組，即運用待定系數(shù)法來求解．在具體問題中，常常會與圖象的平移，對稱，函數(shù)的周期性，奇偶性等知識有機的結(jié)合在一起．