Question

（2011•中山市三模）已知橢圓C₁、拋物線C₂的焦點(diǎn)均在x軸上，C₁的中心和C₂的頂點(diǎn)均為原點(diǎn)O，從每條曲線上取兩個(gè)點(diǎn)，將其坐標(biāo)記錄于下表中：

x	1	- 5	2	2
y	-2 2	0	-4	15 5

（Ⅰ）求C₁、C₂的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)曲線的C₂的焦點(diǎn)B的直線l與曲線C₁交于M、N兩點(diǎn)，與y軸交于E點(diǎn)，若

EM

=λ₁

MB

，

EN

=λ₂

NB

，求證：λ₁+λ₂為定值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)拋物線C₂：y²=2px，則有

y2

x

=2p（x≠0），據(jù)此驗(yàn)證4個(gè)點(diǎn)知（1，-2

2

）、（2，-4）在拋物線上可求拋物線方程，設(shè)C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），把點(diǎn)（-

5

，0）（

2

，

15

5

）代入可求橢圓方程
（Ⅱ）證明：設(shè)M，N，E點(diǎn)的坐標(biāo)分別為M（x₁，y₁）N（x₂，y₂），E（0，y₀），B（2，0）．由點(diǎn)B在橢圓C₁內(nèi)，故過(guò)點(diǎn)B的直線l必與橢圓相交．

EM

=λ₁

MB

，可得（x₁，y₁-y₀）=λ₂（2-x₁，-y₁），將M點(diǎn)坐標(biāo)代入到橢圓方程可得

1

5

(

2λ1

1+λ1

)2+(

y0

1+λ1

) 2=1，由

EN

=λ2

NB

同理可求，從而可求

解答：解：（Ⅰ）設(shè)拋物線C₂：y²=2px，則有

y2

x

=2p（x≠0），
據(jù)此驗(yàn)證4個(gè)點(diǎn)知（1，-2

2

）、（2，-4）在拋物線上，易求y²=8x…（2分）
設(shè)C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），把點(diǎn)（-

5

，0）（

2

，

15

5

）代入得：

5 a2 =1 2 a2 + 3 5b2 =1

⇒

a= 5 b=1

C₁方程為

x2

5

+y2=1…（5分）
（Ⅱ）證明：設(shè)M，N，E點(diǎn)的坐標(biāo)分別為M（x₁，y₁）N（x₂，y₂），E（0，y₀），
又易知B點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，0）．且點(diǎn)B在橢圓C₁內(nèi)，故過(guò)點(diǎn)B的直線l必與橢圓相交．
∵

EM

=λ₁

MB

，∴（x₁，y₁-y₀）=λ₁（2-x₁，-y₁）
∴x1=

2λ1

1+λ1

，y1=

y0

1+λ1

，．   …（8分）
將M點(diǎn)坐標(biāo)代入到橢圓方程中得：

1

5

(

2λ1

1+λ1

)2+(

y0

1+λ1

) 2=1，
去分母整理，得λ₁²+10λ₁+5-5y₀²=0． …（10分）
同理，由

EN

=λ2

NB

可得：λ₂²+10λ₂+5-5y₀²=0． …（12分）
∴λ₁，λ₂是方程x²+10x+5-5y₀²=0的兩個(gè)根，∴λ₁+λ₂=10．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了拋物線的方程及橢圓方程的求解，直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查了計(jì)算的能力．