Question

在一個(gè)盒子中有n+2（n≥2，n∈N^*）個(gè)球，其中2個(gè)球的標(biāo)號(hào)是不同的偶數(shù)，其余n個(gè)球的標(biāo)號(hào)是不同的奇數(shù)．甲乙兩人同時(shí)從盒子中各取出2個(gè)球，若這4個(gè)球的標(biāo)號(hào)之和為奇數(shù)，則甲勝；若這4個(gè)球的標(biāo)號(hào)之和為偶數(shù)，則乙勝．規(guī)定：勝者得2分，負(fù)者得0分．
（I）當(dāng)n=3時(shí)，求甲的得分ξ的分布列和期望；
（II）當(dāng)乙勝概率為

3

7

時(shí)，求n的值．

Answer 1

分析：（I）由題意知甲的得分ξ，ξ的可能取值是2，0，當(dāng)n=3時(shí)利用等可能事件的概率做出甲勝的概率，從而得到甲負(fù)的概率，寫出分布列，做出期望值．
（II）要求乙勝得概率是

3

7

時(shí)，對(duì)應(yīng)的n的值，對(duì)于n的值進(jìn)行檢驗(yàn)，分別做出對(duì)應(yīng)的概率，概率不等于

3

7

，則舍去；等于時(shí)，的得到結(jié)果．

解答：解：（I）甲的得分ξ，ξ的可能取值是2，0
當(dāng)n=3時(shí)，甲勝的概率為P=

C 3 3 • C 1 2

C 4 5

=

2

5

，從而甲負(fù)的概率為

3

5

．
∴甲的得分ξ的分布列為

故Eξ=

4

5

（II）當(dāng)n=2時(shí)，乙勝的概率為P=1，不合題意；
當(dāng)n=3時(shí)，乙勝的概率為P=

3

5

，不合題意；
當(dāng)n≥4時(shí)，乙勝的概率P=

C 2 n

C 4 n+2

+

C 4 n

C 4 n+2

=

(n-2)(n-3)+12

(n+2)(n+1)

故

(n-2)(n-3)+12

(n+2)(n+1)

=

3

7

，化簡(jiǎn)得n²-11n+30=0，
解得n=5或n=6．

點(diǎn)評(píng)：本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，考查等可能事件的概率，考查分類討論思想的應(yīng)用，考查利用概率知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，是一個(gè)綜合題目．