【題目】已知二次函數(shù)(、為常數(shù)且),滿足條件,且方程有等根.
(1)若,恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(2)是否存在實(shí)數(shù),,使當(dāng)定義域?yàn)?/span>時(shí),值域?yàn)?/span>?如果存在,求出,的值;如果不存在,請說明理由.
【答案】(1)(2)存在,滿足題意,詳見解析
【解析】
(1)由已知中,可得的圖象關(guān)于直線對稱,結(jié)合方程有等根其,我們可構(gòu)造關(guān)于的方程組,解方程組求出的值,即可得到的解析式,然后針對,恒成立,轉(zhuǎn)化為函數(shù)在上恒成立,求其最小值,列不等式求出實(shí)數(shù)的取值范圍;
(2)由(1)中函數(shù)的解析式,我們根據(jù)的定義域和值域分別為和,我們易判斷出函數(shù)在的單調(diào)性,進(jìn)而構(gòu)造出滿足條件的方程,解方程即可得到答案.
解:(1)滿足,
的圖像關(guān)于直線對稱,
,①
又方程有等根,即有等根,
,②
由①②得,
,
令,
則在上恒成立,
所以,
解得;
(2)由(1)可得,
假設(shè)存在、,使當(dāng)定義域?yàn)?/span>時(shí),值域?yàn)?/span>,
則必有,即,即必在對稱軸的左側(cè),且在單調(diào)遞增,
所以,又由,
解得,
所以存在,滿足題意.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某車間20名工人年齡數(shù)據(jù)如下表:
年齡(歲) | 19 | 24 | 26 | 30 | 34 | 35 | 40 | 合計(jì) |
工人數(shù)(人) | 1 | 3 | 3 | 5 | 4 | 3 | 1 | 20 |
(1)求這20名工人年齡的眾數(shù)與平均數(shù);
(2)以十位數(shù)為莖,個(gè)位數(shù)為葉,作出這20名工人年齡的莖葉圖;
(3)從年齡在24和26的工人中隨機(jī)抽取2人,求這2人均是24歲的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校為了解學(xué)生對食堂伙食的滿意程度,組織學(xué)生給食堂打分(分?jǐn)?shù)為整數(shù),滿分100分),從中隨機(jī)抽取一個(gè)容量為的樣本,發(fā)現(xiàn)所有數(shù)據(jù)均在內(nèi).現(xiàn)將這些分?jǐn)?shù)分成以下組:,,,,,,并畫出了樣本的頻率分布直方圖,部分圖形如圖所示.觀察圖形,回答下列問題:
(1)算出第三組的頻數(shù),并補(bǔ)全頻率分布直方圖;
(2)請根據(jù)頻率分布直方圖,估計(jì)樣本的眾數(shù)和平均數(shù),
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某城市理論預(yù)測2014年到2018年人口總數(shù)(單位:十萬)與年份(用表示)的關(guān)系如表所示:
(1)請畫出上表數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖;
(2)請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù),用最小二乘法求出關(guān)于的回歸方程;
(3)據(jù)此估計(jì)2019年該城市人口總數(shù).
(參考數(shù)據(jù): )
參考公式:線性回歸方程為,其中.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某基地蔬菜大棚采用水培、無土栽培方式種植各類蔬菜.過去50周的資料顯示,該地周光照量(小時(shí))都在30小時(shí)以上,其中不足50小時(shí)的周數(shù)有5周,不低于50小時(shí)且不超過70小時(shí)的周數(shù)有35周,超過70小時(shí)的周數(shù)有10周.根據(jù)統(tǒng)計(jì),該基地的西紅柿增加量(百斤)與使用某種液體肥料(千克)之間對應(yīng)數(shù)據(jù)為如圖所示的折線圖.
(1)依據(jù)數(shù)據(jù)的折線圖,是否可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系?請計(jì)算相關(guān)系數(shù)并加以說明(精確到0.01);(若,則線性相關(guān)程度很高,可用線性回歸模型擬合)
(2)蔬菜大棚對光照要求較大,某光照控制儀商家為該基地提供了部分光照控制儀,但每周光照控制儀最多可運(yùn)行臺數(shù)受周光照量限制,并有如表關(guān)系:
若某臺光照控制儀運(yùn)行,則該臺光照控制儀周利潤為3000元;若某臺光照控制儀未運(yùn)行,則該臺光照控制儀周虧損1000元.以過去50周的周光照量的頻率作為周光照量發(fā)生的概率,商家欲使周總利潤的均值達(dá)到最大,應(yīng)安裝光照控制儀多少臺?
附:相關(guān)系數(shù)公式,參考數(shù)據(jù),.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】定義在R上的函數(shù)f(x)滿足:如果對任意的x1,x2∈R,都有f(),則稱函數(shù)f(x)是R上的凹函數(shù),已知二次函數(shù)f(x)=ax2+x(a∈R,a≠0)
(1)當(dāng)a=1,x∈[﹣2,2]時(shí),求函數(shù)f(x)的值域;
(2)當(dāng)a=1時(shí),試判斷函數(shù)f(x)是否為凹函數(shù),并說明理由;
(3)如果函數(shù)f(x)對任意的x∈[0,1]時(shí),都有|f(x)|≤1,試求實(shí)數(shù)a的范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù),當(dāng)時(shí), .
(1)直接寫出函數(shù)的增區(qū)間(不需要證明);
(2)求出函數(shù), 的解析式;
(3)若函數(shù), ,求函數(shù)的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某廠生產(chǎn)某產(chǎn)品的年固定成本為250萬元,每生產(chǎn)千件,需另投入成本(萬元),若年產(chǎn)量不足千件, 的圖像是如圖的拋物線,此時(shí)的解集為,且的最小值是,若年產(chǎn)量不小于千件, ,每千件商品售價(jià)為50萬元,通過市場分析,該廠生產(chǎn)的商品能全部售完;
(1)寫出年利潤(萬元)關(guān)于年產(chǎn)量(千件)的函數(shù)解析式;
(2)年產(chǎn)量為多少千件時(shí),該廠在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤最大?
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