Question

已知函數(shù)f（x）=x-

1

xm

，x∈（0，+∞），且f（2）=

3

2

．
（1）用定義證明函數(shù)f（x）在其定義域上為增函數(shù)；
（2）若a＞0，解關(guān)于x的不等式f（3^x-2-1）＜f（9^ax-1）．

Answer 1

考點：指數(shù)函數(shù)綜合題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）得m=1，根據(jù)f(x2)-f(x1)=(x2-

1

x2

)-(x1-

1

x1

)=

(x2-x1)•(1+x2x1)

x1x2

＞0，判斷出即可．
（2）等價于0＜3^x-2-1＜9^ax-1，求解，分類討論分解即可得出解集．

解答： 解：（1）由f(2)=

3

2

得m=1，
∴f(x)=x-

1

x

(x＞0)．對任0＜x₁＜x₂，
即f（x₂）＞f（x₁），
故f（x）在定義域（0，+∞）上為增函數(shù)；
（2）由（1）知，f（3^x-2-1）＜f（9^ax-1）等價于0＜3^x-2-1＜9^ax-1，
即

x＞2 (1-2a)x＜2

，(a＞0)．
當1-2a＞0即0＜a＜

1

2

時，由于

2

1-2a

＞2，
此時2＜x＜

2

1-2a

；
當1-2a=0即a=

1

2

時，x＞2；當1-2a＜0，
即a＞

1

2

時，

x＞2 x＞ 2 1-2a

，此時x＞2；
所以當0＜a＜

1

2

時，不等式解集為(2，

2

1-2a

)；
當a≥

1

2

時；解集為（2，+∞）．

點評：本題考查了指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，運用不等式求解問題，分類討論，屬于中檔題．