已知函數(shù)f(x)=2x+
2x
+alnx，a∈R．
（1）若函數(shù)f（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍．
（2）記函數(shù)g（x）=x2[f′（x）+2x-2]，若g（x）的最小值是-6，求函數(shù)f（x）的解析式．
分析：（1）由f′(x)=2-
2
x2
+
a
x
≥0，知a≥
2
x
-2x在[1，+∞）上恒成立，構造函數(shù)h(x)=
2
x
-2x，x∈[1，+∞)，利用導數(shù)性質，能求出實數(shù)a的取值范圍．
（2）由g（x）=2x3+ax-2，x＞0，知g′（x）=6x2+a，由a≥0時，g′（x）≥0恒成立知a＜0，由此能求出函數(shù)f（x）的解析式．
解答：（本小題滿分14分）
解：（1）f′(x)=2-
2
x2
+
a
x
≥0，
∴a≥
2
x
-2x在[1，+∞）上恒成立…（2分）
令h(x)=
2
x
-2x，x∈[1，+∞)
∵h′(x)=-
2
x2
-2＜0恒成立，
∴h（x）在[1，+∞）單調(diào)遞減…（4分）
h（x）max=h（1）=0…（6分）
∴a≥0，
故實數(shù)a的取值范圍為[0，+∞）．…（7分）
（2）g（x）=2x3+ax-2，x＞0
∵g′（x）=6x2+a…（9分）
當a≥0時，g′（x）≥0恒成立，
∴g（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，無最小值，不合題意，
∴a＜0．…（11分）
令g′（x）=0，則x=
-a
6
（舍負）
∵0＜x＜
-a
6
時，g′（x）＜0；x＞
-a
6
時，g′（x）＞0，
∴g（x）在 (0，
-a
6
)上單調(diào)遞減，在(
-a
6
，
+∞)上單調(diào)遞增，
則x=
-a
6
是函數(shù)的極小值點．g(x)min=g(x)極小=g(
-a
6
)=-6．…（13分）
解得a=-6，
故f(x)=2x+
2
x
-6lnx．…（14分）
點評：本題考查函數(shù)是增函數(shù)時實數(shù)的取值范圍的求法，考查函數(shù)的解析式的求法，解題時要認真審題，仔細解答，注意導數(shù)性質的合理運用．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
2-xx+1
；
（1）求出函數(shù)f（x）的對稱中心；
（2）證明：函數(shù)f（x）在（-1，+∞）上為減函數(shù)；
（3）是否存在負數(shù)x0，使得f(x0)=3x0成立，若存在求出x0；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
2-x-1，x≤0
x
，x＞0
，則f[f（-2）]=
3
3
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=2(sin2x+
3
2
)cosx-sin3x
（1）求函數(shù)f（x）的值域和最小正周期；
（2）當x∈[0，2π]時，求使f(x)=
3
成立的x的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=2-
ax+1
(a∈R)的圖象過點（4，-1）
（1）求a的值；
（2）求證：f（x）在其定義域上有且只有一個零點；
（3）若f（x）+mx＞1對一切的正實數(shù)x均成立，求實數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
2-2cosx
+
2-2cos(
2π
3
-x)
，x∈[0，2π]，則當x=
4π
3
4π
3
時，函數(shù)f（x）有最大值，最大值為
2
3
2
3
．

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