Question

已知函數(shù)f(x)=loga(

x2+1

+bx)（a＞0且a≠1），給出如下判斷：
①函數(shù)f（x）為R上的偶函數(shù)的充要條件是b=0；
②若a=

1

2

，b=-1，則函數(shù)f（x）為R上的減函數(shù)；
③當a＞1時，函數(shù)為R上的增函數(shù)；
④若函數(shù)f（x）為R上的奇函數(shù)，且為R上的增函數(shù)，則必有0＜a＜1，b=-1或a＞1，b=1．
其中所有正確判斷的序號是

①④

．

Answer 1

分析：①由題意可得f（-x）=f（x）對若任意的x都成立，代入可求b
②當a=

1

2

，b=-1時，f（x）=log

1

2

(

1+x2

-x)，代入可得f（-x）=-f（x），則函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，結(jié)合g（x）=

1+x2

-x=

1

1+x2 +x

在（0，+∞），及y=log

1

2

g(x)在R上單調(diào)性，可判斷函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)性，然后由奇函數(shù)的性質(zhì)判斷函數(shù)f（x）在R上單調(diào)性
③當a＞1時，函數(shù)y=log_at單調(diào)遞增，而t=

1+x2

+bx單調(diào)性不確定，
④若函數(shù)f（x）為R上的奇函數(shù)，則f（-x）=-f（x）對任意的x都成立，代入可求b，由函數(shù)f（x）為R上的增函數(shù)可求a的范圍

解答：解：①由函數(shù)f（x）為R上的偶函數(shù)可得f（-x）=f（x）對若任意的x都成立
∴loga(

1+(-x)2

-bx)=loga(

1+x2

+bx)即

1+x2

-bx=

1+x2

+bx對任意的x都成立
∴bx=0對任意的x都成立，則b=0，故①正確
②當a=

1

2

，b=-1時，f（x）=log

1

2

(

1+x2

-x)，則f（-x）=log

1

2

(

1+x2

+x)=log

1

2

1

1-x2 -x

=-f（x），則函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，由于g（x）=

1+x2

-x=

1

1+x2 +x

在（0，+∞）單調(diào)遞減，y=log

1

2

g(x)在R上單調(diào)遞減，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，由奇函數(shù)的性質(zhì)可知，函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增，故②錯誤
③當a＞1時，函數(shù)y=log_at單調(diào)遞增，而t=

1+x2

+bx單調(diào)性不確定，故③錯誤
④若函數(shù)f（x）為R上的奇函數(shù)，則f（-x）=-f（x）對任意的x都成立，
則loga (

1+x2

-bx)=-loga(

1+x2

+bx)
∴

1+x2

-bx=

1

1+x2 +bx

∴（1-b²）x²=0對任意的x都成立
∴b=1或b=-1
∵函數(shù)f（x）為R上的增函數(shù)
當b=-1時，

1+x2

-x在R上單調(diào)遞減，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，0＜a＜1
當b=1時，

1+x2

+x在R上單調(diào)遞增，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，a＞1
故④正確
故答案為：①④

點評：本題主要考查了對數(shù)的基本運算，函數(shù)的奇偶性的判斷及奇偶函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)的應(yīng)用，復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，綜合性較強，要求考生具備綜合應(yīng)用函數(shù)的性質(zhì)解題的能力