Question

設(shè)函數(shù)f（x）=ax²+bx+k（k＞0）在x=0處取得極值，且曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線垂直于直線x+2y+1=0，
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）若函數(shù)，討論g（x）的單調(diào)性。

Answer 1

解：（Ⅰ）因，
又f（x）在x=0處取得極限值，故f′（x）=0，從而b=0，
由曲線y= f（x）在（1，f（1））處的切線與直線x-2y+1=0相互垂直，
可知該切線斜率為2，
即f′（1）=2，有2a=2，從而a=1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，，
令，
（1）當(dāng)△=4-4k＜0，即當(dāng)k＞1時，g′（x）＞0在R上恒成立，故函數(shù)g（x）在R上為增函數(shù)；
（2）當(dāng)△=4-4k =0，即當(dāng)k=1時，，
k=1時，g（x）在R上為增函數(shù)；
（3）△=4-4k＞0，即當(dāng)0＜k＜1時，方程有兩個不相等實根
，
當(dāng)x∈時，g′（x）＞0，故g（x）在上為增函數(shù)；
當(dāng)x∈時，g′（x）＜0，故g（x）在上為減函數(shù)；
x∈時，g′（x）＞0，故g（x）在上為增函數(shù)。