Question

設(shè)函數(shù)f（x）=sin²x+acosx+

5

8

a-

3

2

，x∈[0，

π

2

]的最大值是1，試確定a的值．

Answer 1

分析：利用平方關(guān)系化簡(jiǎn)函數(shù)f（x）=sin²x+acosx+

5

8

a-

3

2

為：-（cosx-

a

2

）²+

1

8

（2a²+5a-4）；然后比較

a

2

與cosx的大小，即對(duì)a討論：0≤a≤2，a＞2，a＜0，分別利用函數(shù)的最大值為1，求出符合題意的a的值即可．

解答：解：．f（x）=1-cos²x+acosx+

5

8

a-

3

2

=-（cosx-

a

2

）²+

1

8

（2a²+5a-4），
x∈[0，

π

2

]，∴cosx∈[0，1]
（1）若0≤

a

2

≤1，即0≤a≤2，
當(dāng)cosx=

a

2

時(shí)，f（x）最大．此時(shí)

1

8

（2a²+5a-4）=1
解得a=

3

2

（2））若

a

2

＞1，即a＞2，當(dāng)x=0時(shí)，即cosx=1時(shí)，f（x）最大．
此時(shí)-（1-

a

2

）²

1

8

（2a²+5a-4）=1
a=

20

13

（不符和條件）
（3）若

a

2

＜0，即a＜0，a=-4（舍）或a=

3

2

，
當(dāng)x=

π

2

時(shí)，f（x）最大．此時(shí)-（0-

a

2

）²+

1

8

（2a²+5a-4）=1
a=

12

5

（不符和條件）
綜上可得：a=

3

2

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)的最值，考查分類討論思想，0≤a≤2，a＞2，a＜0是怎么得到的（比較

a

2

與cosx的大�。�，是解題的關(guān)鍵．本題是中檔題．