Question

設(shè)函數(shù)f（x）=|x-1|+|x-a|，
（1）若a=-1，解不等式f（x）≥3；
（2）如果x∈R，f（x）≥2，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)a=-1，原不等式變?yōu)椋簗x-1|+|x+1|≥3，下面利用對值幾何意義求解，利用數(shù)軸上表示實數(shù)-

3

2

左側(cè)的點與表示實數(shù)

3

2

右側(cè)的點與表示實數(shù)-1與1的點距離之和不小3，從而得到不等式解集．
（2）欲求當(dāng)x∈R，f（x）≥2，a的取值范圍，先對a進(jìn)行分類討論：a=1；a＜1；a＞1．對后兩種情形，只須求出f（x）的最小值，最后“x∈R，f（x）≥2”的充要條件是|a-1|≥2即可求得結(jié)果．

解答：解：（1）當(dāng)a=-1時，f（x）=|x-1|+|x+1|，由f（x）≥3有|x-1|+|x+1|≥3
據(jù)絕對值幾何意義求解，|x-1|+|x+1|≥3幾何意義，是數(shù)軸上表示實數(shù)x的點距離實數(shù)1，-1表示的點距離之和不小3，
由于數(shù)軸上數(shù)-

3

2

左側(cè)的點與數(shù)

3

2

右側(cè)的點與數(shù)-1與1的距離之和不小3，
所以所求不等式解集為（-∞，-

3

2

]∪[

3

2

，+∞）
（2）由絕對值的幾何意義知，數(shù)軸上到1的距離與到a的距離之和大于等于2恒成立，則1與a之間的距離必大于等于2，從而有a∈（-∞，-1]∪[3，+∞）

點評：本小題主要考查絕對值不等式、不等式的解法、充要條件等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想．