Question

已知函數(shù)f（x）=2cos（

π

2

-x）cos（2π-x）．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）當x∈[0，

π

2

]時，求函數(shù)g（x）=f（x）+cos2x的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角公式和誘導公式對函數(shù)的解析式進行化簡整理，進而利用三角函數(shù)的周期公式求得函數(shù)的最小正周期．
（2）根據(jù)（1）中函數(shù)f（x）的解析式確定g（x）的解析式，利用兩角和公式進行化簡整理，進而利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求得g（x）的最大值和最小值．

解答：解：（1）因為f（x）=2cos（

π

2

-x）cos（2π-x）=2sinxcosx=sin2x
所以函數(shù)的最小正周期為π．
（2）因為g（x）=f（x）+cos2x=sin2x+cos2x=

2

sin（2x+

π

4

）
由0≤x≤

π

2

，得

π

4

≤2x+

π

4

≤

5π

4

，從而-

2

2

≤sin（2x+

π

4

）≤1
所以當x∈[0，

π

2

]時，g（x）的最大值為

2

，最小值為-1．

點評：本題主要考查了三角函數(shù)的周期性及其求法，兩角和公式和二倍角公式的化簡求值，以及三角函數(shù)的值域．考查了學生綜合運用所學知識的能力．