Question

設(shè)(5x

1

2

-x

1

3

)n展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)的和為M，二項(xiàng)式系數(shù)的和為N，M-N=992，則展開(kāi)式中x² 項(xiàng)的系數(shù)為（　�。�

• A、250
• B、-250
• C、150
• D、-150

Answer 1

分析：利用賦值法求出展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)和，據(jù)展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)和為2ⁿ，列出方程求出n；利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式求出第r+1項(xiàng)，令x的指數(shù)為2求出展開(kāi)式中x²項(xiàng)的系數(shù)．

解答：解：令x=1得M=4ⁿ，又N=2ⁿ，
∵M(jìn)-N=992，∴4ⁿ-2ⁿ=992，
令2ⁿ=k，則k²-k-992=0，
∴k=32，∴n=5，
∵T_r+1=C₅^r(5x

1

2

)5-r(-x

1

3

)r
=（-1）^r•C₅^r•5^5-r•x

15-r

6

，
令

15-r

6

=2，得r=3，
∴x²項(xiàng)系數(shù)為（-1）³C₅³•5²=-250．
故選項(xiàng)為B

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用賦值法求展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)和；二項(xiàng)展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)；利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式求展開(kāi)式的特定項(xiàng)．