已知函數(shù)f(x)=
kx-(k+1)x

(1)若函數(shù)f(x)是(0,+∞)上的增函數(shù),求k的取值范圍;
(2)證明:當k=2時,不等式f(x)<lnx對任意x>0恒成立;
(3)證明:ln(1×2)+ln(2×3)+L+ln[n(n+1)]>2n-3.
分析:(1)對函數(shù)求導數(shù)可得f′(x)=
k+1
x2
,由已知得,f′(x)≥0對x∈(0,+∞)恒成立,可得結(jié)果.
(2)本題的思路較為清晰,那就是構(gòu)造函數(shù),令g(x)=lnx+
3
x
-2
,利用導數(shù)g′(x)=
x-3
x2
轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題易得結(jié)論.
(3)在(2)的基礎上來解答本題很容易解決,由(2)得lnx>2-
3
x
,于是求出通項an=ln[n(n+1)]的關系,然后利用數(shù)列求和的裂項相消法可得結(jié)論.
解答:解:(1)∵f(x)=k-
k+1
x
,∴f′(x)=
k+1
x2

∵f(x)是(0,+∞)上的增函數(shù),∴f′(x)=
k+1
x2
≥0對x∈(0,+∞)恒成立.
∴k+1≥0,得k≥-1
而k=-1時f′(x)=0,f(x)=-1為常函數(shù),不滿足條件,
∴k>-1
(2)證明:當k=2時,∵f(x)=2-
3
x

∴不等式f(x)<lnx對任意x>0恒成立,等價于lnx+
3
x
-2>0
對任意x>0恒成立.
g(x)=lnx+
3
x
-2
,則g′(x)=
x-3
x2

∴g(x)在(0,3)上遞減,在(3,+∞)上遞增,
∴g(x)≥g(3)=ln3-1>0,即lnx+
3
x
-2>0
對任意x>0恒成立.
∴不等式f(x)<lnx對任意x>0恒成立.
(3)證明:由(2)知,lnx+
3
x
-2>0
對任意x>0恒成立,即lnx>2-
3
x

∵n∈N*,
∴l(xiāng)n[n(n+1)]>2-
3
n(n+1)
=2-3(
1
n
-
1
n+1
)

∴l(xiāng)n(1×2)+ln(2×3)+…+ln[n(n+1)]>2n-3(1-
1
2
+
1
2
-
1
3
+…+
1
n
-
1
n+1
)
=2n-3(1-
1
n+1
)
>2n-3
點評:本題考查導數(shù)在解決問題中的應用,解題的關鍵求出函數(shù)的導數(shù)f′(x)≥0恒成立來解答參數(shù)k的值,本題第二小題是一個恒成立的問題,恒成立的問題一般轉(zhuǎn)化最值問題來求解,本題即轉(zhuǎn)化為用單調(diào)性求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值的問題.在(3)中的構(gòu)造法解決問題時要對由函數(shù)到數(shù)列的特殊化要求,思路要認真嚴謹,避免過度太大,導致解題粗枝大葉的現(xiàn)象發(fā)生.
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已知函數(shù)f(x)=k[(logax)2+(logxa)2]-(logax)3-(logxa)3,(其中a>1),g(x)=x2-2bx+4,設t=logax+logxa.
(Ⅰ)當x∈(1,a)∪(a,+∞)時,將f(x)表示成t的函數(shù)h(t),并探究函數(shù)h(t)是否有極值;
(Ⅱ)當k=4時,若對?x1∈(1,+∞),?x2∈[1,2],使f(x1)≤g(x2),試求實數(shù)b的取值范圍..

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k+1x
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(1)求實數(shù)k,a的值;
(2)若函數(shù)g(x)=
f(x)-1f(x)+1
,試判斷函數(shù)g(x)的奇偶性,并說明理由.

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(2012•蕪湖二模)給出以下五個命題:
①命題“?x∈R,x2+x+1>0”的否定是:“?x∈R,x2+x+1<0”.
②已知函數(shù)f(x)=k•cosx的圖象經(jīng)過點P(
π
3
,1),則函數(shù)圖象上過點P的切線斜率等于-
3

③a=1是直線y=ax+1和直線y=(a-2)x-1垂直的充要條件.
④函數(shù)f(x)=(
1
2
)x-x
1
3
在區(qū)間(0,1)上存在零點.
⑤已知向量
a
=(1,-2)
與向量
b
=(1,m)
的夾角為銳角,那么實數(shù)m的取值范圍是(-∞,
1
2

其中正確命題的序號是
②③④
②③④

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(已知函數(shù)f(x)=k[(logax)2+(logxa)2]-(logax)3-(logxa)3,(其中a>1),g(x)=x2-2bx+4,設t=logax+logxa.
(Ⅰ)當x∈(1,a)∪(a,+∞)時,試將f(x)表示成t的函數(shù)h(t),并探究函數(shù)h(t)是否有極值;
(Ⅱ)當k=4時,若對任意的x1∈(1,+∞),存在x2∈[1,2],使f(x1)≤g(x2),試求實數(shù)b的取值范圍..

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