(Ⅰ)證明:在△ABD中,∵AB=2,AD=2
,BD
2=AB
2+AD
2-2AB×AD×cos45°=4,∴BD=2,
∴AD
2=AB
2+BD
2,∴AB⊥BD,
∵平面ABD⊥平面CBD,平面ABD∩平面CBD=BD
∴AB⊥平面CBD,
∵DC?平面CBD,
∴AB⊥DC;
(Ⅱ)解:在四面體ABCD中,以D為原點,DB為x軸,DC為y軸,過D垂直于平面BDC的射線為z軸,建立如圖空間直角坐標(biāo)系.
則D(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),A(2,0,2)
設(shè)平面ABC的法向量為
∵
∴
,∴取
設(shè)平面DAC的法向量為
∵
∴
,∴取
∴cos<
>=
=
∴二面角B-AC-D平面角的大小為60°;
(Ⅲ)解:由于△ABC,△ADC均為直角三角形,故四面體ABCD的外接球球心是AC的中點
∵AC=
,∴R=
∴四面體ABCD外接球的體積為
=4
π.
分析:(Ⅰ)在△ABD中,利用余弦定理,可得BD,從而可得AB⊥BD,根據(jù)平面ABD⊥平面CBD,可得AB⊥平面CBD,從而可得AB⊥DC;
(Ⅱ)建立空間直角坐標(biāo)系,求出平面ABC的法向量
,平面DAC的法向量
,利用向量的夾角公式,可得二面角B-AC-D平面角的大。
(Ⅲ)根據(jù)△ABC,△ADC均為直角三角形,可得四面體ABCD的外接球球心是AC的中點,從而可求四面體ABCD外接球的體積.
點評:本題考查面面垂直,考查線面垂直,考查面面角,考查四面體ABCD外接球的體積,考查利用向量的方法解決面面角問題,確定平面的法向量是關(guān)鍵.