已知雙曲線C：
x2
2
-
y2
b2
=1(b＞0)的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，P，M為C上任意點(diǎn)，∠F1PF2=
π
2
，S△PF1F2=1，N(
3
2
，1)，則
6
3
|MF2|+|MN|的最小值為
 
．
分析：由雙曲線的方程可得 a=
2
，c=
2+b2
，由條件可得雙曲線的方程為為
x2
2
-y2=1，過(guò)M作右準(zhǔn)線
的垂線MH，H為垂足，由雙曲線的定義可得|MH|=
6
3
|MF2|，故 
6
3
|MF2|+|MN|=|MH|+|MN|≥|NH|．
解答：解：由雙曲線的方程可得 a=
2
，c=
2+b2
，F(xiàn)1 （-c，0），F(xiàn)2  （c，0）．
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，n），n＞0，則有
n-0
m+
2+b2
•
n
m-
2+b2
=-1
m2
2
-
n2
b2
=1
1
2
×2
2+b2
×n = 1
，解得  b2=1，
故雙曲線的方程為
x2
2
-y2=1，故c=
3
，e=
3
2
=
6
2
．過(guò)M作右準(zhǔn)線 x=
2
3
  的垂線MH，H為垂足，
 由雙曲線的定義可得
|MF2|
|MH|
=e=
6
2
，∴|MH|=
6
3
|MF2|．
 故 
6
3
|MF2|+|MN|=|MH|+|MN|≥|NH|=
3
2
-
2
3
=
9-4
3
6
，
當(dāng)且僅當(dāng)M、N、H 三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)．
點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程，以及雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，得到|MH|=
6
3
|MF2|，是解題的關(guān)鍵．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知雙曲線C：
x2
2
-y2=1．
（1）求雙曲線C的漸近線方程；
（2）已知點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，1）．設(shè)P是雙曲線C上的點(diǎn)，Q是點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)．記λ=
MP
•
MQ
．求λ的取值范圍；
（3）已知點(diǎn)D，E，M的坐標(biāo)分別為（-2，-1），（2，-1），（0，1），P為雙曲線C上在第一象限內(nèi)的點(diǎn)．記l為經(jīng)過(guò)原點(diǎn)與點(diǎn)P的直線，s為△DEM截直線l所得線段的長(zhǎng)．試將s表示為直線l的斜率k的函數(shù)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知雙曲線c：
x2
2
-y2=1，設(shè)直線l過(guò)點(diǎn)A(-3
2
，0)，
（1）當(dāng)直線l與雙曲線C的一條漸近線m平行時(shí)，求直線l的方程及l(fā)與m的距離；
（2）證明：當(dāng)k＞
2
2
時(shí)，在雙曲線C的右支上不存在點(diǎn)Q，使之到直線l的距離為
6
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知雙曲線C：
x2
2
-y2 =1．
（1）求雙曲線C的漸近線方程；
（2）已知點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，1）．設(shè)P是雙曲線C上的點(diǎn)，Q是點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，記λ=
MP
•
MQ
．求λ的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：上海 題型：解答題

已知雙曲線c：
x2
2
-y2=1，設(shè)直線l過(guò)點(diǎn)A(-3
2
，0)，
（1）當(dāng)直線l與雙曲線C的一條漸近線m平行時(shí)，求直線l的方程及l(fā)與m的距離；
（2）證明：當(dāng)k＞
2
2
時(shí)，在雙曲線C的右支上不存在點(diǎn)Q，使之到直線l的距離為
6
．

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