Question

已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的三視圖如圖所示，D是BC的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：A₁B∥平面ADC₁；
（Ⅱ）求二面角C₁-AD-C的余弦值．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)題中的三視圖可得該三棱柱是直三棱柱，AB=BC=2AA₁，∠ABC=90°．連結(jié)A₁C交AC₁于點(diǎn)O，連結(jié)OD．由矩形的性質(zhì)結(jié)合題意證出OD為△A₁BC中位線，可得A₁B∥OD，利用線面平行判定定理可證出A₁B∥平面ADC₁．
（II）根據(jù)題意可得BA、BC、BB₁兩兩互相垂直，由此建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，算出

AD

、

AC1

的坐標(biāo)，利用垂直向量數(shù)量積為零的方法建立方程組，解出

n

=（2，1，-2）是平面ADC的一個(gè)法向量，而

m

=（0，0，1）是平面ADC的一個(gè)法向量，利用空間向量的夾角公式加以計(jì)算，即可得出二面角C₁-AD-C的余弦值．

解答：解：（Ⅰ）根據(jù)題中的三視圖，可知：
三棱柱ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，AB=BC=2AA₁，∠ABC=90°，連結(jié)A₁C，交AC₁于點(diǎn)O，連結(jié)OD．
∵ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，
∴四邊形ACC₁A₁為矩形，可得O為A₁C的中點(diǎn)．
又∵D為BC中點(diǎn)，
∴OD為△A₁BC中位線，可得A₁B∥OD，
∵OD?平面ADC₁，A₁B?平面ADC₁，
∴A₁B∥平面ADC₁．
（II）∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，∠ABC=90°，
∴BA、BC、BB₁兩兩互相垂直，由此建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
可得B（0，0，0），C（2，0，0），A（0，2，0），D（1，0，0），C₁（2，0，1）
∴

AD

=（1，-2，0），

AC1

=（2，-2，1）設(shè)平面ADC的一個(gè)法向量為

n

=（x，y，z），可得

n • AD =x-2y=0 n • AC1 =2x-2y+z=0

，取y=1，得x=2，z=-2，得

n

=（2，1，-2），
又∵平面ADC的一個(gè)法向量為

m

=（0，0，1），
∴cos＜

n

，

m

＞=

n • m

|n| • |m|

=

-2

4+1+4 •1

=-

2

3

由二面角C₁-AD-C為銳二面角，可得二面角C₁-AD-C的余弦值等于

2

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題給出三棱柱的三視圖，求證線面平行并求二面角的余弦值，著重考查了棱柱的定義與性質(zhì)、線面平行的判定定理和利用空間向量研究平面與平面所成角等知識(shí)，屬于中檔題．