Question

如圖，S（1，1）是拋物線為y²=2px（p＞0）上的一點，弦SC，SD分別交x軸于A，B兩點，且SA=SB．
（I）求證：直線CD的斜率為定值；
（Ⅱ）延長DC交x軸于點E，若|EC|=

1

3

|DE|，求cos2∠CSD的值．

Answer 1

分析：（1）將點（1，1）代入y²=2px，得2p=1，拋物線方程為y²=x，設直線SA的方程為y-1=k（x-1），C（x₁，y₁），與拋物線方程y²=x聯立得：ky²-y+1-k=0．再由根與系數的關系能夠導出直線CD的斜率為定值．
（2）設E（t，0），由|EC|=

1

3

|DE|，得

EC

=

1

3

ED

，知 (

(1-k)2

k2

-t，

1

k

-1)=

1

3

(

(1+k)2

k2

-t，

1

k

-1)，解得k=2，所以直線SA的方程為y=2x-1，由此能求出cos∠CSD=cos∠ASB的值，利用二倍角公式即可求得結果．

解答：解：（1）將點（1，1）代入y²=2px，得2p=1
∴拋物線方程為y²=x
設直線SA的方程為y-1=k（x-1），C（x₁，y₁）
與拋物線方程y²=x聯立得：ky²-y+1-k=0
∴y₁+1=

1

k

∴y₁=

1

k

-1
C(

(1-k)2

k2

，

1

k

-1)
由題意有SA=SB，∴直線SB的斜率為-k
∴D(

(1+k)2

k2

，-

1

k

-1)
∴KCD=

1 k -1+ 1 k +1

(1-k)2 k2 - (1+k)2 k2

=-

1

2

；
（2）設E（t，0）
∵|EC|=

1

3

|DE|，
∴

EC

=

1

3

ED

∴(

(1-k)2

k2

-t，

1

k

-1)=

1

3

(

(1+k)2

k2

-t，

1

k

-1)

1

k

-1=

1

3

(-

1

k

-1)
∴k=2
∴直線SA的方程為y=2x-1
∴A（

1

2

，0）
同理B（

3

2

，0）
∴cos∠CSD=cos∠ASB=

SA2+SB2-AB2

2SB•SA

=

3

5

．
∴cos2∠CSD=2cos²∠ASB-1=-

7

25

．

點評：本題考查直線和圓錐曲線的位置關系，解題時要認真審題，注意公式的合理運用，考查分析問題和解決問題的能力和運算能力，屬中檔題．