Question

（1）已知圓的方程是（x+4）²+（y-2）²=9，求經(jīng)過點P（-1，5）的切線方程．
（2）點P是橢圓

x2

16

+

y2

12

=1上的動點，A（1，0），求PA的最大、小值．

Answer 1

考點：兩點間的距離公式,圓的切線方程

專題：直線與圓,圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）利用直線與圓相切的充要條件即可得出．
（2）利用兩點間的距離公式和二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答： 解：（1）由（x+4）²+（y-2）²=9可得圓心（-4，2），半徑r=3．
可知：當(dāng)直線x=-1時與此圓相切，是圓的一條切線．
當(dāng)經(jīng)過點P（-1，5）的切線的斜率存在時，設(shè)切線方程為y-5=k（x+1），
由直線與圓相切可得

|-4k-2+5+k|

k2 +1

=3，解得k=0．
∴切線的方程為y=5．
綜上可知：經(jīng)過點P（-1，5）的切線方程為y=5，或x=-1．
（2）設(shè)點P（x，y）．則-4≤x≤4．
由

x2

16

+

y2

12

=1，得y2=12-

3

4

x2，
∴|PA|=

(x-1)2+y2

=

(x-1)2+12- 3 4 x2

=

1 4 x2-2x+13

=

1 4 (x-4)2+9

．
∵-4≤x≤4，∴函數(shù)

1

4

(x-4)2+9單調(diào)遞減．．
故當(dāng)且僅當(dāng)x=4時，|PA|取得最小值3；x=-4時，|PA|取得最大值5．

點評：熟練掌握直線與圓相切的充要條件、兩點間的距離公式和二次函數(shù)的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵．