Question

設各項均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}滿足a₁=2，（n∈N*），
（Ⅰ）若a₂=，求a₃，a₄，并猜想a_2cos的值（不需證明）；
（Ⅱ）記b_n=a₃a₂…a_n（n∈N*），若b_n≥2對n≥2恒成立，求a₂的值及數(shù)列{b_n}的通項公式。

Answer 1

解：(Ⅰ)因，
故，
由此有，
故猜想{a_n}的通項為。
（Ⅱ）令，S_n表示x_n的前n項和，則，
由題設知x₁=1且，①
，②
因②式對n=2成立，有，
又x₁=1得，③
下用反證法證明：，
假設，
由①得，
因此數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，
故，④
又由①知，
因此是首項為，公比為-2的等比數(shù)列，
所以，⑤
由④-⑤得，⑥
對n求和得，⑦
由題設知，且由反證假設，
有，
從而，
即不等式對k∈N*恒成立，但這是不可能的，矛盾；
因此x₂≤，結(jié)合③式知x₂=，
因此a₂=2^*2=，
將x₂=代入⑦式得S_n=2-(n∈N*)，
所以(n∈N*)。