Question

已知點(diǎn)A是橢圓的左頂點(diǎn)，直線l：x=my+1（m∈R）與橢圓C相交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，與x軸相交于點(diǎn)B．且當(dāng)m=0時(shí)，△AEF的面積為．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)直線AE，AF與直線x=3分別交于M，N兩點(diǎn)，試判斷以MN為直徑的圓是否經(jīng)過(guò)點(diǎn)B？并請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）當(dāng)m=0時(shí)，直線l的方程為x=1，設(shè)點(diǎn)E在x軸上方，
由解得，所以．
左頂點(diǎn)為（-3，0），
因?yàn)椤鰽EF的面積為，解得t=2．
所以橢圓C的方程為．
（2）由得（2m²+9）y²+4my-16=0，顯然m∈R．
設(shè)E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），
則，x₁=my₁+1，x₂=my₂+1．
又直線AE的方程為，
由解得，同理得．
所以，
又因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/421590.png' />==
===0．
所以，所以以MN為直徑的圓過(guò)點(diǎn)B．
分析：（1）m=0時(shí)直線l的方程與橢圓方程聯(lián)立解得E，F(xiàn)坐標(biāo)，從而可表示出|EF|的長(zhǎng)，根據(jù)，△AEF的面積為得到關(guān)于t的方程，解出即可．
（2）由消x得到關(guān)于y的一元二次方程，設(shè)E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），由韋達(dá)定理可用m表示y₁，y₂，根據(jù)已知條件可求出M，N坐標(biāo)，判斷以MN為直徑的圓是否經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，只需判斷是否有，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為是否有，通過(guò)計(jì)算即可驗(yàn)證．
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，考查學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，綜合性較強(qiáng)，有一定難度．