Question

（2012•寧德模擬）已知拋物線y²=4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l．
（1）求經(jīng)過(guò)點(diǎn)F的直線l相切，且圓心在直線x-1=0上的圓的方程；
（2）設(shè)過(guò)點(diǎn)F且不與坐標(biāo)軸垂直的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與x軸交于點(diǎn)M，求點(diǎn)M橫坐標(biāo)的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求出拋物線y²=4x的焦點(diǎn)與準(zhǔn)線方程，設(shè)圓的方程為（x-a）²+（y-b）²=r²，利用經(jīng)過(guò)點(diǎn)F的直線l相切，且圓心在直線x-1=0上的圓的方程，建立方程組，即可求得圓的方程；
（2）設(shè)直線AB的方程為y=k（x-1）（k≠0）代入拋物線方程，消元，確定P的坐標(biāo)，求得線段AB的垂直平分線方程，求得與x軸交于點(diǎn)M的橫坐標(biāo)，即可確定M的取值范圍．

解答：解：（1）拋物線y²=4x的焦點(diǎn)為F（1，0），準(zhǔn)線為l為x=-1，設(shè)圓的方程為（x-a）²+（y-b）²=r²，
∵經(jīng)過(guò)點(diǎn)F的直線l相切，且圓心在直線x-1=0上的圓的方程，
∴

a-1=0 a-(-1)=r (a-1)2+b2 =r

∴

a=1 b=2 r=2

或

a=1 b=-2 r=2

∴圓的方程為（x-1）²+（y-2）²=4，或（x-1）²+（y+2）²=4；
（2）依題意，可設(shè)直線AB的方程為y=k（x-1）（k≠0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的中點(diǎn)為P
將直線方程代入拋物線方程，消元可得k²x²-2（k²+2）x+k²=0
∴x₁+x₂=

2(k2+2)

k2

，∴xP=1+

2

k2

∴yP=

2

k

，
∴線段AB的垂直平分線方程為y-

2

k

=-

1

k

(x-1-

2

k2

)
∴x軸交于點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為xM=3+

2

k2

＞3
∴M的取值范圍是（3，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓的方程，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是利用待定系數(shù)法求圓的方程，屬于中檔題．