Question

如圖所示，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E為AB的中點(diǎn)．設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2a．
（1）求AD和B₁C所成的角；
（2）證明：平面EB₁D⊥平面B₁CD；
（3）求二面角E-B₁C-D的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：用空間向量求平面間的夾角,平面與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）確定∠B₁CB為AD和B₁C所成的角，即可得到結(jié)論；
（2）取B₁C的中點(diǎn)F，B₁D的中點(diǎn)G，連結(jié)BF，EG，GF，證明EG⊥平面B₁CD，利用面面垂直的判定，證明平面EB₁D⊥平面B₁CD；
（3）連結(jié)EF，證明∠EFG為二面角E-B₁C-D的平面角，從而可求二面角E-B₁C-D的余弦值．

解答： （1）解：∵正方體中，AD∥BC
∴AD與B₁C所成的角為∠B₁CB
∵∠B₁CB=45°，∴AD和B₁C所成的角為45°（3分）
（2）證明：取B₁C的中點(diǎn)F，B₁D的中點(diǎn)G，連結(jié)BF，EG，GF
∴CD⊥平面BCC₁B₁，且BF?平面BCC₁B₁
∴DC⊥BF
又BF⊥B₁C，CD∩B₁C=C
∴BF⊥平面B₁CD
∵GF∥CD，GF=

1

2

CD，BE∥CD，BE=

1

2

CD，
∴EB∥GF，EB=GF
∴四邊形BFGE是平行四邊形
∴BF∥GE
∴EG⊥平面B₁CD
又EG?平面EB₁D
∴平面EB₁D⊥平面B₁CD（8分）
（3）解：連結(jié)EF
∵CD⊥B₁C，GF∥CD，∴GF⊥B₁C
又EG⊥平面B₁CD，EF⊥B₁C
∴∠EFG為二面角E-B₁C-D的平面角
∵正方體的棱長(zhǎng)為2a
∴在△EFG中，GF=a，EF=

3

a
∴cos∠EFG=

GF

EF

=

3

3

即二面角E-B₁C-D的余弦值為

3

3

（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查空間角，考查線面垂直，面面垂直，考查學(xué)生分析解決問題的能力，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．