Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=c-

1

an

．
（Ⅰ）設(shè)c=

5

2

，b_n=

1

an-2

，求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）求使不等式a_n＜a_n+1＜3成立的c的取值范圍．

Answer 1

（1）an+1-2=

5

2

-

1

an

-2=

an-2

2an

，

1

an+1-2

=

2an

an-2

=

4

an-2

+2，即b_n+1=4b_n+2
bn+1+

2

3

=4(bn+

2

3

)，a₁=1，故b1=

1

a1-2

=-1
所以{bn+

2

3

}是首項(xiàng)為-

1

3

，公比為4的等比數(shù)列，
bn+

2

3

=-

1

3

×4n-1，bn=-

4n-1

3

-

2

3

（Ⅱ）a₁=1，a₂=c-1，由a₂＞a₁得c＞2．
用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)c＞2時a_n＜a_n+1．
（�。┊�(dāng)n=1時，a₂=c-

1

a1

＞a₁，命題成立；
（ii）設(shè)當(dāng)n=k時，a_k＜a_k+1，
則當(dāng)n=k+1時，ak+2=c-

1

ak+1

＞c-

1

ak

=ak+1
故由（i）（ii）知當(dāng)c＞2時，a_n＜a_n+1
當(dāng)c＞2時，令α=

c+ c2-4

2

，由an+

1

an

＜an+1+

1

an

=c得an＜α
當(dāng)2＜c≤

10

3

時，a_n＜α≤3
當(dāng)c＞

10

3

時，α＞3且1≤a_n＜α
于是α-an+1=

1

anα

(α-an)≤

1

3

(α-an)
α-an+1= 

1

3n

 (α-1)
當(dāng)n＜log3

α-1

α-3

時，α-an+1＜α-3，an+1＞3
因此c＞

10

3

不符合要求．
所以c的取值范圍是（2，

，10

3

]．