Question

【題目】設(shè)拋物線 的焦點(diǎn)為 ，準(zhǔn)線為 ，點(diǎn) 在拋物線 上，已知以點(diǎn) 為圓心， 為半徑的圓 交 于 兩點(diǎn).
（Ⅰ）若 ， 的面積為4，求拋物線 的方程；
（Ⅱ）若 三點(diǎn)在同一條直線 上，直線 與 平行，且 與拋物線 只有一個(gè)公共點(diǎn)，求直線 的方程.

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由對(duì)稱性知， 是等腰三角形.
∵ ，點(diǎn) 到準(zhǔn)線的距離為 ，設(shè)準(zhǔn)線與 軸交于點(diǎn) ，
即 ， ，
∴ .
∴拋物線方程為 ；
（Ⅱ）由對(duì)稱性不妨設(shè) ，則 .
∵點(diǎn) 關(guān)于點(diǎn) 對(duì)稱，
∴ 點(diǎn)的坐標(biāo)為 .
∵ 點(diǎn)在準(zhǔn)線上，
∴ .
∴ .
∴ 點(diǎn)坐標(biāo)為 .
∴ .
又∵直線 與直線 平行，
∴ .
由已知直線 與拋物線相切，設(shè)切點(diǎn)為 ，
∴ .
∴ .
∴切點(diǎn) .
∴直線 的方程為 ，即 .
由對(duì)稱性可知，直線 有兩條，分別為 ，
【解析】本題考查拋物線與直線的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，具體涉及到拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)、直線方程的應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．