Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且an=

1

2

(3n+Sn)對一切正整數(shù)n成立．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）設(shè)bn=

an

3

+1，求b1b2+b2b3+…+bnbn+1的和．

Answer 1

分析：（1）由an=

1

2

(3n+Sn)①，得an-1=

1

2

(3n-3+Sn-1)②，兩式相減可得數(shù)列遞推式，從而可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解；
（2）由（1）可得b_n，b_nb_n+1，利用等比數(shù)列的求和公式可得結(jié)果；

解答：解：（1）∵an=

1

2

(3n+Sn)①，∴an-1=

1

2

(3n-3+Sn-1)②，
①-②得an-an-1=

1

2

(3+an)∴an=2an-1+3，
∴an+3=2(an-1+3)∴

an+3

an-1+3

=2（常數(shù)）（n≥2），
∴{a_n+3}成等比數(shù)列，q=2．
又a1=

1

2

(3+a1)∴a1=3，
∴an+3=(a1+3)qn-1=6•2n-1=3•2n∴an=3•2n-3；
（2）由（1）得bn=

an

3

+1=2n，

∴b1b2+b2b3+…+bnbn+1=2•22+22•23+…+2n•2n+1 =23+25+…+22n+1= 8 3 (4n-1)

點(diǎn)評：本題考查由數(shù)列遞推式求數(shù)列通項(xiàng)、等比數(shù)列求和，考查轉(zhuǎn)化思想，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力，屬中檔題．