Question

5．已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸的橢圓過點(diǎn)（1，$\frac{3}{2}$），其離心率與雙曲線x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的離心率互為倒數(shù)．
（Ⅰ）求該橢圓的方程；
（Ⅱ）已知點(diǎn)P（$\frac{1}{5}$，0），若直線y=kx+m（k≠0）與橢圓交于相異的兩點(diǎn)M、N，且|MP|=|NP|，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），依題意得：雙曲線x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的離心率為2，橢圓的離心率為$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，即a=2c．b²=a²-c²=3c²．款的橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{4{c}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{3{c}^{2}}$=1，把點(diǎn)（1，$\frac{3}{2}$）代入橢圓方程即可得出．
（Ⅱ）設(shè)M、N的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁）、（x₂，y₂），直線方程與橢圓方程聯(lián)立得：（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0．可得△＞0，再利用根與系數(shù)的關(guān)系、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、垂直平分線的性質(zhì)即可得出．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），
依題意得：雙曲線x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的離心率為2，
∴橢圓的離心率為e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，即a=2c．
∴b²=a²-c²=3c²．
∴橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{4{c}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{3{c}^{2}}$=1，∴$\frac{1}{4{c}^{2}}$+$\frac{（\frac{3}{2}）^{2}}{3{c}^{2}}$=1，解得：c²=1．
∴橢圓方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
（Ⅱ）設(shè)M、N的坐標(biāo)分別為（x₁，y₁）、（x₂，y₂），$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，
整理得：（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0．
∴△=（8km）²-4（3+4k²）（4m²-12）＞0，x₁+x₂=-$\frac{8km}{3+4{k}^{2}}$，
∴m²＜4k²+3，M、N的中點(diǎn)坐標(biāo)為（-$\frac{4km}{3+4{k}^{2}}$，$\frac{3m}{3+4{k}^{2}}$）．
∵|MP|=|NP|，
∴點(diǎn)P（$\frac{1}{5}$，0）在線段MN的中垂線上，
∴線段MN的中垂線方程為y=-$\frac{1}{k}$（x-$\frac{1}{5}$），
∴$\frac{3m}{3+4{k}^{2}}$=-$\frac{1}{k}$（-$\frac{4km}{3+4{k}^{2}}$-$\frac{1}{5}$），得4k²+5km+3=0，即：m=-$\frac{4{k}^{2}+3}{5k}$，
代入m²＜4k²+3得：$\frac{（4{k}^{2}+3）^{2}}{25{k}^{2}}$＜4k²+3，
即：k²＞$\frac{1}{7}$，解得：k＞$\frac{\sqrt{7}}{7}$或k＜-$\frac{\sqrt{7}}{7}$，
∴k的取值范圍是（-∞，-$\frac{\sqrt{7}}{7}$）∪（$\frac{\sqrt{7}}{7}$，+∞）．

點(diǎn)評 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、垂直平分線的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．