Question

若f（x）=2（log₂x）²+alog₂x^-2+b，在x=

1

2

時(shí)，取得最小值1，
（1）求a和b的值．
（2）求x∈[

1

4

，8]上的值域．

Answer 1

分析：（1）將函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)，利用在x=

1

2

時(shí)，取得最小值1，得到結(jié)論．
（2）利用換元法將函數(shù)轉(zhuǎn)換為一元二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求值域．

解答：解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞），
因?yàn)閒（x）=2（log₂x）²+alog₂x^-2+b=2（log₂x）²-2alog₂x+b，
設(shè)t=log₂x，則函數(shù)等價(jià)為g(t)=2t2-2at+b=2(t-

a

2

)2+b-

a2

2

，
因?yàn)楫?dāng)x=

1

2

時(shí)，取得最小值1，此時(shí)t=log2

1

2

=-1，
所以

a

2

=-1，b-

a2

2

=1，解得a=-2，b=3．…（6分）
（2）因?yàn)閍=-2，b=3．，所以g（t）=2（t+1）²+1，二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為t=-1，…（8分）
因?yàn)閤∈[

1

4

，8]，所以-2≤t≤3…（10分）
所以1≤y≤33．
即函數(shù)的值域?yàn)閇1，33]…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了對(duì)數(shù)函數(shù)的運(yùn)算和性質(zhì)，利用換元法將函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)解決問(wèn)題是解決本題的關(guān)鍵．