設(shè)F1、F2為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，P為雙曲線右支上任一點(diǎn)，若
PF12PF2
的最小值恰是實(shí)軸長(zhǎng)的4倍，則該雙曲線離心率的取值范圍是
（1，3]
（1，3]
．
分析：設(shè)|PF2|=t，則由雙曲線的定義可得|PF1|=2a+t，推出
P 
F
2
1
PF2
的關(guān)系式，利用基本不等式求出最小值，然后推出離心率的范圍．
解答：解：由雙曲線的定義可得|PF1|-|PF2|=2a．
設(shè)|PF2|=t，則|PF1|=2a+t，
所以
P 
F
2
1
PF2
=
4a2+4at+t2
t
=
4a2
t
+t+4a≥2
4a2
t
×t
+4a=8a，
當(dāng)且僅當(dāng) t=2a時(shí)，等號(hào)成立．
因?yàn)镻為雙曲線右支上任一點(diǎn)，
所以t≥c-a，
所以2a≥c-a，
所以e=
c
a
≤3．
又因?yàn)?e＞1，
所以e的范圍為 （1，3]．
故答案為：（1，3]．
點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的定義和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，并且考查基本不等式的應(yīng)用，此題能夠正確利用 t≥c-a 是解題的關(guān)鍵．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)F1和F2為雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)，若F1，F(xiàn)2，P（0，2b）是正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，則雙曲線的離心率為（　�。�
A、
3
2
B、2
C、
5
2
D、3

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)F1、F2為雙曲線
x2
sin2θ
-
y2
b2
=1（0＜θ≤
π
2
，b＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)，過F1的直線交雙曲線的同支于A、B兩點(diǎn)，如果|AB|=m，則△AF2B的周長(zhǎng)的最大值是（　�。�
A、4-mB、4
C、4+mD、4+2m

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)F1和F2為雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，若F1、F2、P（0，2b）是正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，則雙曲線的離心率為
2
2
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

以正方形ABCD的相對(duì)頂點(diǎn)A、C為焦點(diǎn)的橢圓，恰好過正方形四邊的中點(diǎn)，則該橢圓的離心率為
10
-
2
2
10
-
2
2
；設(shè)F1和F2為雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的兩個(gè)焦點(diǎn)，若F1，F(xiàn)2，P（0，2b）是正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，則雙曲線的離心率為
2
2
；經(jīng)過拋物線y=
1
4
x2的焦點(diǎn)作直線交拋物線于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點(diǎn)，若y1+y2=5，則線段AB的長(zhǎng)等于
7
7
．

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