Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=2a_n-n+1，（n∈N^*），
（1）求證數(shù)列{a_n-n}為等比數(shù)列．
（2）判斷265是否是數(shù)列{a_n}中的項(xiàng)，若是，指出是第幾項(xiàng)，并求出該項(xiàng)以前所有項(xiàng)的和（不含265），若不是，說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式,等比關(guān)系的確定

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）根據(jù)等比數(shù)列的定義即可證明數(shù)列{a_n-n}為等比數(shù)列．
（2）求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，根據(jù)通項(xiàng)公式進(jìn)行判斷．

解答： 證明：（1）由a_n+1=2a_n-n+1知
a_n+1-（n+1）=2（a_n-n），
即

an+1-(n+1)

an-n

=2，
即{a_n-n}是以1為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列．
（2）由（1）知a_n-n=2^n-1，
即a_n=2^n-1+n，
265是數(shù)列{a_n}中的第9項(xiàng)．
（原因是 {a_n}是遞增數(shù)列，265是奇數(shù)，它只能為{a_n}中的奇數(shù)項(xiàng)，）
又∵256＜265＜512，
∴猜想是第9 項(xiàng)，經(jīng)驗(yàn)證符合猜想，不寫原因不扣分）
∴S₈=（1+2+…+8）+（2⁰+2+…+2⁷）=291．

點(diǎn)評：本題主要考查等比數(shù)列的證明，以及數(shù)列項(xiàng)的判斷，根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．