已知二次函數(shù)f（x）滿足f（0）=1，及f（x+1）-f（x）=2x．
（1）求f（x）的解析式；（2）若g（x）=f（logax）（a＞0且a≠1），x∈[a，  
1a
]，試求g（x）的值域．
分析：（1）由題意可設(shè)f（x）=ax2+bx+1，由f（x+1）-f（x）=2ax+a+b+2x可求a，b，進(jìn)而可求f（x）
（2）由a＜
1
a
可求a的范圍，由t=logax在[a，
1
a
]上單調(diào)性，可求t的范圍，而由g（x）=f（logax）=（logax）2-logax可得y=t2-t+1，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可求函數(shù)的值域
解答：解：（1）設(shè)f（x）=ax2+bx+1…（1分）
∴f（x+1）-f（x）=2ax+a+b+2x
∴
2a=2
a+b=0
∴a=1，b=-1…（5分）
∴f（x）=x2-x+1…（6分）
（2）∵f（x）=x2-x+1
∴g（x）=f（logax）=（logax）2-logax+1，x∈[a，
1
a
]…（7分）
令t=logax，原函數(shù)化為y=t2-t+1，…（8分）
∵a≤x≤
1
a
又a＞0且a≠1
∴a＜
1
a
即0＜a＜1，…（9分）
∴t=logax在[a，
1
a
]上單減，
∴-1≤t≤1，…（10分）
又對稱軸t=
1
2
∴t=
1
2
時(shí)，ymin=
3
4
，
∴t=-1時(shí)，ymax=3，
∴g（x）的值域?yàn)?span id="gq3aoa5" class="MathJye">[
3
4
，3]．   …（12分）
點(diǎn)評：本題主要考查了利用待定系數(shù)法求解函數(shù)解析式，對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用及二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值的求解．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知二次函數(shù)f（x）=x2+2（m-2）x+m-m2．
（I）若函數(shù)的圖象經(jīng)過原點(diǎn)，且滿足f（2）=0，求實(shí)數(shù)m的值．
（Ⅱ）若函數(shù)在區(qū)間[2，+∞）上為增函數(shù)，求m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的圖象過點(diǎn)（0，1），且與x軸有唯一的交點(diǎn)（-1，0）．
（Ⅰ）求f（x）的表達(dá)式；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)F（x）=f（x）-kx，x∈[-2，2]，記此函數(shù)的最小值為g（k），求g（k）的解析式．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知二次函數(shù)f（x）=x2-16x+q+3．
（1）若函數(shù)在區(qū)間[-1，1]上存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)q的取值范圍；
（2）若記區(qū)間[a，b]的長度為b-a．問：是否存在常數(shù)t（t≥0），當(dāng)x∈[t，10]時(shí)，f（x）的值域?yàn)閰^(qū)間D，且D的長度為12-t？請對你所得的結(jié)論給出證明．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•廣州一模）已知二次函數(shù)f（x）=x2+ax+m+1，關(guān)于x的不等式f（x）＜（2m-1）x+1-m2的解集為（m，m+1），其中m為非零常數(shù)．設(shè)g(x)=
f(x)x-1
．
（1）求a的值；
（2）k（k∈R）如何取值時(shí)，函數(shù)φ（x）=g（x）-kln（x-1）存在極值點(diǎn)，并求出極值點(diǎn)；
（3）若m=1，且x＞0，求證：[g（x+1）]n-g（xn+1）≥2n-2（n∈N*）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（1）已知二次函數(shù)f（x）的圖象與x軸的兩交點(diǎn)為（2，0），（5，0），且f（0）=10，求f（x）的解析式．
（2）已知二次函數(shù)f（x）的圖象的頂點(diǎn)是（-1，2），且經(jīng)過原點(diǎn)，求f（x）的解析式．

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