Question

已知二次函數(shù)f（x）滿足f（0）=1，及f（x+1）-f（x）=2x．
（1）求f（x）的解析式；（2）若g（x）=f（log_ax）（a＞0且a≠1），x∈[a，  

1

a

]，試求g（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）由題意可設(shè)f（x）=ax²+bx+1，由f（x+1）-f（x）=2ax+a+b+2x可求a，b，進(jìn)而可求f（x）
（2）由a＜

1

a

可求a的范圍，由t=log_ax在[a，

1

a

]上單調(diào)性，可求t的范圍，而由g（x）=f（log_ax）=（log_ax）²-log_ax可得y=t²-t+1，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可求函數(shù)的值域

解答：解：（1）設(shè)f（x）=ax²+bx+1…（1分）
∴f（x+1）-f（x）=2ax+a+b+2x
∴

2a=2 a+b=0

∴a=1，b=-1…（5分）
∴f（x）=x²-x+1…（6分）
（2）∵f（x）=x²-x+1
∴g（x）=f（log_ax）=（log_ax）²-log_ax+1，x∈[a，

1

a

]…（7分）
令t=log_ax，原函數(shù)化為y=t²-t+1，…（8分）
∵a≤x≤

1

a

又a＞0且a≠1
∴a＜

1

a

即0＜a＜1，…（9分）
∴t=log_ax在[a，

1

a

]上單減，
∴-1≤t≤1，…（10分）
又對(duì)稱軸t=

1

2

∴t=

1

2

時(shí)，ymin=

3

4

，
∴t=-1時(shí)，y_max=3，
∴g（x）的值域?yàn)?span id="m2cwohc" class="MathJye">[

3

4

，3]．   …（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用待定系數(shù)法求解函數(shù)解析式，對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用及二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值的求解．