Question

定義在[-1，1]上的奇函數(shù)f（x），當(dāng)-1≤x＜0時(shí)，f（x）=

2x

4x+1

（1）求f（x）在[-1，1]上解析式；
（2）判斷f（x）在（0，1）上的單調(diào)性，并給予證明．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì),函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）先設(shè)x∈[0，1]，則-x∈[-1，0]，然后結(jié)合已知的解析式、奇函數(shù)性質(zhì)即可求出f（x）；
（2）利用定義先證明[0，1]上的單調(diào)性，然后結(jié)合奇函數(shù)性質(zhì)可得函數(shù)在定義域上的單調(diào)性．

解答： 解：（1）∵f（x）是定義在[-1，1]上的奇函數(shù)，
∴當(dāng)x=0時(shí)，f（x）=0；
當(dāng)x∈（0，1]時(shí)，-x∈[-1，0），
所以f(x)=-f(-x)=

2x

1+4x

；
綜上：f(x)=

2x 1+4x ，x∈(0，1] 0，x=0 - 2x 1+4x ，x∈[-1，0)

．
（2）證明：任取0＜x₁＜x₂≤1，
則f(x1)-f(x2)=

(2x1-2x2)(1-2x1+x2)

(1+4x1)(1+4x2)

，
又因?yàn)?＜x₁＜x₂≤1，所以2x1＜2x2，2x1-2x2＜0，
且x₁+x₂＞0，得1-2x1+x2＜0，
所以f（x₁）＞f（x₂），所以函數(shù)f（x）在（0，1）上遞減．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用函數(shù)的奇偶性求解析式，利用單調(diào)性的定義證明函數(shù)在指定區(qū)間上的單調(diào)性的步驟．