Question

如圖，在三棱錐P-ABC中，
（1）求證：平面ABC⊥平面APC
（2）求直線PA與平面PBC所成角的正弦值；
（3）若動(dòng)點(diǎn)M在底面三角形ABC上，二面角M-PA-C的余弦值為，求BM的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）證明平面ABC⊥平面APC，利用線面垂直證明，即證OP⊥平面ABC；
（2）以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB、OC、OP分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)表示點(diǎn)與向量，求出平面PBC的法向量，利用向量的夾角公式，即可得到直線PA與平面PBC所成角的正弦值；
（3）平面PAC的法向量，求出平面PAM的法向量，利用二面角M-PA-C的余弦值為，可得，從而可求B點(diǎn)到AM的最小值．
解答：（1）證明：取AC中點(diǎn)O，因?yàn)锳P=BP，所以O(shè)P⊥OC  
由已知，可得△ABC為直角三角形，∴OA=OB=OC，△POA≌△POB≌△POC，∴OP⊥OB
∵OB∩OC=O
∴OP⊥平面ABC，
∵OP?平面PAC，∴平面ABC⊥平面APC（4分）
（2）解：以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB、OC、OP分別為x、y、z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系．
由已知得O（0，0，0），B（2，0，0），A（0，-2，0），
C（0，2，0），P（0，0，），（5分）
∴
設(shè)平面PBC的法向量，
由得方程組，取（6分）
∴
∴直線PA與平面PBC所成角的正弦值為．                             （8分）
（3）解：由題意平面PAC的法向量，
設(shè)平面PAM的法向量為，M=（m，n，0）
∵，，
∴
取z=1，可得
∴
∴
∴2n+2=4m（11分）
∴B點(diǎn)到AM的最小值為垂直距離d=．     （12分）
點(diǎn)評：本題考查面面垂直，考查線面角，考查平面法向量的求解，解題的關(guān)鍵是掌握面面垂直的判定，正確求出平面的法向量．