Question

把函數(shù)f（x）=2sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的圖象向左平移

π

6

個單位后得到偶函數(shù)g（x）的圖象．
（Ⅰ）求φ的值；  
（Ⅱ）求函數(shù)h（x）=f（x-

π

12

）-g（x）的單調增區(qū)間．

Answer 1

考點：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：計算題,三角函數(shù)的圖像與性質

分析：（I）根據(jù)函數(shù)圖象的平移變換法則，可求出平移后函數(shù)的解析式，進而根據(jù)正弦型函數(shù)的奇偶性，求出φ的值；  
（Ⅱ）求出函數(shù)h（x）=f（x-

π

12

）-g（x）的解析式，并利用輔助角（和差角）公式，化為正弦型函數(shù)的形式，結合正弦型函數(shù)的單調性，可得答案．

解答： 解：（I）把函數(shù)f（x）=2sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的圖象向左平移

π

6

個單位后得到：
g（x）=2sin[2（x+

π

6

）+φ]的圖象，
∵函數(shù)g（x）為偶函數(shù)，
故當x=0時，2×

π

6

+φ=

π

2

+kπ，即φ=

π

6

+kπ，k∈Z，
又∵0＜φ＜π，
∴φ=

π

6

，
（II）由（I）得：f（x）=2sin（2x+

π

6

），
∴f（x-

π

12

）=2sin2x
g（x）=2sin（2x+

π

2

）=2cos2x，
∴h（x）=f（x-

π

12

）-g（x）=2sin2x-2cos2x=2

2

sin（2x+

π

4

），
由2x+

π

4

∈[-

π

2

+2kπ，

π

2

+2kπ]得：x∈[-

3π

8

+2kπ，

π

8

+2kπ]，（k∈Z），
故函數(shù)h（x）=f（x-

π

12

）-g（x）的單調增區(qū)間為[-

3π

8

+2kπ，

π

8

+2kπ]，（k∈Z）

點評：本題考查函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，著重考查三角函數(shù)的奇偶性、單調性與三角恒等變換，屬于中檔題．