Question

設(shè)
（1）指出f（x）的單調(diào)性，說明理由；
（2）求F（x）=4^x-2^f（x）的值域．

Answer 1

解：（1）∵，
∴1-2^x＞0，解得x∈（-∞，0）
設(shè)，
∵u=1-2^x在（-∞，0）上是減函數(shù)，y=log₂u是增函數(shù)，
∴由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，知y=lg₂（1-2^x）在（-∞，0）上單調(diào)遞減．
（2）∵，
∴2^f（x）==1-2x，
∵F（x）=4^x-2^f（x），
∴F（x）=4^x-（1-2^x）（x＜0），
令2^x=t，則t∈（0，1），
y=t²+t-1=（t+）²-，
∴當(dāng)t=0時(shí)，y_min=（0+）²-=-1；
當(dāng)t→1時(shí)，y_max→（1+）²-=1，
∴F（x）=4^x-2^f（x）的值域?yàn)閇-1，1）．
分析：（1）由，知x∈（-∞，0），設(shè)，由此利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)能判斷f（x）的單調(diào)性．
（2）由，把F（x）=4^x-2^f（x）等價(jià)轉(zhuǎn)化為F（x）=4^x-（1-2^x）（x＜0），由此利用換元法和二次函數(shù)的性質(zhì)能求出F（x）=4^x-2^f（x）的值域．
點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的單調(diào)和值域的求法，解題時(shí)要合理地運(yùn)用換元法和復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)、二次函數(shù)的性質(zhì)．