Question

已知函數(shù)，
（1）判斷函數(shù)的單調(diào)性，并用定義證明；　　　
（2）求函數(shù)的最大值和最小值．

Answer 1

（1）解：f（x）在[3，5]上為增函數(shù)．證明如下：…（2分）
設(shè)x₁，x₂是區(qū)間[3，5]上的任意兩個實(shí)數(shù)且x₁＜x₂，
則…（4分）
∵3≤x₁＜x₂≤5∴2-x₁＜0，2-x₂＜0　x₁-x₂＜0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0　　即f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）在[3，5]上為增函數(shù)…（8分）
（2）由（1）f（x）在[3，5]上為增函數(shù)，
所以f（x）在[3，5]上有最大值f（5）=-2，有最小值f（3）=-4…（12分）
分析：（1）任取3≤x₁＜x₂≤5，我們構(gòu)造出f（x₂）-f（x₁）的表達(dá)式，根據(jù)實(shí)數(shù)的性質(zhì)，我們易出f（x₂）-f（x₁）的符號，進(jìn)而根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，得到答案；
（2）根據(jù)（1）可知函數(shù)的單調(diào)性，將區(qū)間端點(diǎn)的值代入即可求出最大值和最小值．
點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，以及應(yīng)用單調(diào)性求函數(shù)的最值，同時還考查了學(xué)生的變形，轉(zhuǎn)化能力，屬中檔題．