Question

如圖，已知圓G：x²+y²-2x-

2

y=0，經過橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦點F及上頂點B，過圓外一點（m，0）（m＞a）傾斜角為

5π

6

的直線l交橢圓于C，D兩點，
（1）求橢圓的方程；
（2）若右焦點F在以線段CD為直徑的圓E的內部，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）依據題意可求得F，B的坐標，求得c和b，進而求得a，則橢圓的方程可得；
（2）設出直線l的方程，與橢圓方程聯(lián)立消去，利用判別式大于0求得m的范圍，設出C，D的坐標，利用韋達定理表示出x₁+x₂和x₁x₂，進而利用直線方程求得y₁y₂，表示出

FC

和

FD

，進而求得

FC

•

FD

的表達式，利用F在圓E的內部判斷出

FC

•

FD

＜0求得m的范圍，最后綜合可求得md 范圍．

解答：解：（1）x2+y2-2x-

2

y=0過點F、B，
∴F（2，0），B(0，

2

)，
故橢圓的方程為

x2

6

+

y2

2

=1
（2）直線l：y=-

3

3

(x-m)(m＞

6

)

x2 6 + y2 2 =1 y=- 3 3 (x-m)

消y得2x²-2mx+（m²-6）=0
由△＞0?-2

3

＜m＜2

3

，
又m＞

6

?

6

＜m＜2

3

設C（x₁，y₁）、D（x₂，y₂），則x₁+x₂=m，x1x2=

m2-6

2

，y1y2=

1

3

x1x2-

m

3

(x1+x2)+

m2

3

，

FC

=(x1-2，y1)，

FD

=(x2-2，y2)
∴

FC

•

FD

=(x1-2)(x2-2)+y1y2=

2m(m-3)

3

∵F在圓E的內部，∴

FC

•

FD

＜0?0＜m＜3，
又

6

＜m＜2

3

?

6

＜m＜3．

點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．考查了學生綜合運用所學知識解決實際問題的能力．