Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=90°．
（1）求證：PC⊥BC；
（2）求點A到平面PBC的距離．
（3）求二面角A-PB-C的余弦值．

Answer 1

分析：（1）由PD⊥平面ABCD，BC⊥CD，利用三垂線定理即可得出；
（2）建立如圖所示的空間直角坐標系，則A（1，-1，0），B（1，1，0），C（0，1，0），P（0，0，1）．
∴

PA

=（1，-1，-1），

PC

=(0，1，-1)，

CB

=（1，0，0）．求出平面PBC的法向量

n

，利用點到平面的距離公式d=

| PA • n |

| n |

即可得出．
（3）求出平面PAB的法向量

m

，利用兩個平面的法向量的夾角公式cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m | | n |

，即可得出二面角的余弦值．

解答：（1）證明：∵PD⊥平面ABCD，BC⊥CD，∴PD⊥BC．
（2）解：建立如圖所示的空間直角坐標系，則A（1，-1，0），B（1，1，0），C（0，1，0），P（0，0，1）．
∴

PA

=（1，-1，-1），

PC

=(0，1，-1)，

CB

=（1，0，0）．
設(shè)平面PBC的法向量為

n

=（x，y，z），則

n • PC =y-z=0 n • CB =x=0

，
令y=1，則x=0，z=1.

n

=（0，1，1）．
∴點A到平面PBC的距離d=

| PA • n |

| n |

=

2

2

=

2

．
（3）由（2）可得

AB

=（0，2，0），

PB

=（1，1，-1）．
設(shè)平面PAB的法向量為

m

=（a，b，c），則

m • AB =2b=0 m • PB =a+b-c=0

，令a=1，則c=1，b=0．
∴

m

=(1，0，1)．
∴cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m | | n |

=

1

2 • 2

=

1

2

，
由圖形上看：二面角A-PB-C的平面角應是一個鈍角，故其余弦值為-

1

2

．

點評：本題考查了通過建立空間直角坐標系利用平面的法向量及向量的夾角公式分別得出點到平面的距離、二面角的余弦值、線面垂直的判定與性質(zhì)等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，考查了空間想象能力和推理能力及計算能力，屬于難題．