Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=90°．
（1）求證：PC⊥BC；
（2）求點A到平面PBC的距離．
（3）求二面角A-PB-C的余弦值．

Answer 1

分析：（1）由PD⊥平面ABCD，BC⊥CD，利用三垂線定理即可得出；
（2）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A（1，-1，0），B（1，1，0），C（0，1，0），P（0，0，1）．
∴

PA

=（1，-1，-1），

PC

=(0，1，-1)，

CB

=（1，0，0）．求出平面PBC的法向量

n

，利用點到平面的距離公式d=

| PA • n |

| n |

即可得出．
（3）求出平面PAB的法向量

m

，利用兩個平面的法向量的夾角公式cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m | | n |

，即可得出二面角的余弦值．

解答：（1）證明：∵PD⊥平面ABCD，BC⊥CD，∴PD⊥BC．
（2）解：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A（1，-1，0），B（1，1，0），C（0，1，0），P（0，0，1）．
∴

PA

=（1，-1，-1），

PC

=(0，1，-1)，

CB

=（1，0，0）．
設(shè)平面PBC的法向量為

n

=（x，y，z），則

n • PC =y-z=0 n • CB =x=0

，
令y=1，則x=0，z=1.

n

=（0，1，1）．
∴點A到平面PBC的距離d=

| PA • n |

| n |

=

2

2

=

2

．
（3）由（2）可得

AB

=（0，2，0），

PB

=（1，1，-1）．
設(shè)平面PAB的法向量為

m

=（a，b，c），則

m • AB =2b=0 m • PB =a+b-c=0

，令a=1，則c=1，b=0．
∴

m

=(1，0，1)．
∴cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m | | n |

=

1

2 • 2

=

1

2

，
由圖形上看：二面角A-PB-C的平面角應(yīng)是一個鈍角，故其余弦值為-

1

2

．

點評：本題考查了通過建立空間直角坐標(biāo)系利用平面的法向量及向量的夾角公式分別得出點到平面的距離、二面角的余弦值、線面垂直的判定與性質(zhì)等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，考查了空間想象能力和推理能力及計算能力，屬于難題．