Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=90°E為PA中點．
（1）求證：DE∥平面PBC；
（2）求證：平面PAD⊥平面PDB．

Answer 1

分析：（1）取線段AB的中點F，連接EF，DF，由題設條EF∥PB，DF∥BC．由此推導出平面EFD∥平面PBC，從而能夠證明ED∥平面PBC．
（2）連接DB，由題設條件推導出BD⊥AD，BD⊥PD，從而得到BD⊥平面PAD，由此能夠證明平面PAD⊥平面PDB．

解答：解：（1）取線段AB的中點F，連接EF，DF，
∵PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，E為PA中點，
∴EF∥PB，DF∥BC．
∵EF∥PB，EF?平面BPC，PB?平面BPC，∴EF∥平面BPC，
∵DF∥BC，DF?平面BPC，BC?平面BPC，∴DF∥平面BPC，
又∵DF∩EF=F，∴平面EFD∥平面PBC，
∵ED?平面PBC，
∴ED∥平面PBC．
（2）連接DB，
∵DF∥BC，PD⊥平面ABCD，∠BCD=90°，
∴∠DFA=∠CBF=90°，
∵PD=DC=BC=1，AB=2，
∴DF=AF=1，BD=

2

，AD=

2

，
∴BD⊥AD，
∵PD⊥平面ABCD，BD?ABCD，∴BD⊥PD，
∴BD⊥平面PAD，
∵BD?平面PDB，∴平面PAD⊥平面PDB．

點評：本題考查直線與平面垂直的證明，考查平面與平面垂直的證明，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地化空間問題為平面問題．