設(shè)點F1(-c,0),F(xiàn)2(c,0)分別是橢圓的左、右焦點,P為橢圓C上任意一點,且最小值為0.
(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)定點D(m,0),已知過點F2且與坐標(biāo)軸不垂直的直線l與橢圓交于A、B兩點,滿足|AD|=|BD|,求m的取值范圍.
【答案】分析:(1)設(shè)出點P的坐標(biāo),利用數(shù)量積得到表達(dá)式,根據(jù)其取得最小值的條件即可得出c,進而得出橢圓的方程;
(2)利用點斜式得到直線l的方程,與橢圓方程聯(lián)立,再利用根與系數(shù)的關(guān)系及垂直平分線的性質(zhì)即可求出m的范圍.
解答:解:(1)設(shè)P(x,y),則,,
,
由題意得,1-c2=0⇒c=1⇒a2=2,
∴橢圓C的方程為.                                 
(2)由(1)得F(1,0),設(shè)l的方程為y=k(x-1),
代入,得(2k2+1)x2-4k2x+2k2-2=0,
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則,∴,
設(shè)AB的中點為M,則
∵|AD|=|BD|,∴DM⊥AB,即kDM•kAB=-1,∴
∵直線l與坐標(biāo)軸不垂直,∴

點評:熟練掌握橢圓的定義與性質(zhì)、向量的數(shù)量積、線段的垂直平分線的性質(zhì)、直線與圓錐曲線相交問題的解題模式、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)點F1(-c,0)、F2(c,0)分別是雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1
的左右焦點,P為雙曲線上的一點,且
PF1
PF2
=-
2c2
3
,則此雙曲線的離心率的取值范圍是
[
3
,+∞
[
3
,+∞

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•揭陽一模)如圖,設(shè)點F1(-c,0)、F2(c,0)分別是橢圓C:
x2
a2
+y2=1(a>1)
的左、右焦點,P為橢圓C上任意一點,且
PF1
PF2
最小值為0.
(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)直線l1:y=kx+m,l2:y=kx+n,若l1、l2均與橢圓C相切,證明:m+n=0;
(3)在(2)的條件下,試探究在x軸上是否存在定點B,點B到l1,l2的距離之積恒為1?若存在,請求出點B坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•揭陽一模)如圖,設(shè)點F1(-c,0)、F2(c,0)分別是橢圓C:
x2
a2
+y2=1(a>1)
的左、右焦點,P為橢圓C上任意一點,且
PF1
PF2
最小值為0.
(1)求橢圓C的方程;
(2)若動直線l1,l2均與橢圓C相切,且l1∥l2,試探究在x軸上是否存在定點B,點B到l1,l2的距離之積恒為1?若存在,請求出點B坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•閘北區(qū)一模)設(shè)點F1(-c,0),F(xiàn)2(c,0)分別是橢圓C:
x2
a2
+y2=1(a>1)
的左、右焦點,P為橢圓C上任意一點,且
PF1
PF2
最小值為0.
(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)定點D(m,0),已知過點F2且與坐標(biāo)軸不垂直的直線l與橢圓交于A、B兩點,滿足|AD|=|BD|,求m的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2013-2014學(xué)年廣東省汕頭市金山中學(xué)高三(上)開學(xué)摸底數(shù)學(xué)試卷(文科)(解析版) 題型:解答題

如圖,設(shè)點F1(-c,0)、F2(c,0)分別是橢圓的左、右焦點,P為橢圓C上任意一點,且最小值為0.
(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)直線l1:y=kx+m,l2:y=kx+n,若l1、l2均與橢圓C相切,證明:m+n=0;
(3)在(2)的條件下,試探究在x軸上是否存在定點B,點B到l1,l2的距離之積恒為1?若存在,請求出點B坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

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