Question

如圖，在棱長為2的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分別是B₁B、DC的中點．
（1）求三棱錐E-FCC₁的體積．
（2）求異面直線D₁F與A₁E所成角的大小（結果用反三角函數值表示）．

Answer 1

解：（1）由=
因給出的多面體為正方體，
所以FC⊥平面ECC₁，且FC=1，
又△ECC₁的底CC₁=2，高為E到CC₁的距離等于2，
所以
==．

（2）如上圖，取AB的中點為G，連接A₁G，GE
由于A₁G∥D₁F，所以直線A₁G與A₁E所成的銳角或直角即為異面直線A₁E與D₁F所成的角．
在△A₁GE中，，，
由余弦定理得，＞0
所以
即異面直線A₁E與D₁F所成的角的大小為．
分析：（1）根據給出的多面體是正方體，所以三角形ECC₁的面積易求，且F點到面ECC₁的高可求，把三棱錐E-FCC₁的體積轉化為三棱錐F-ECC₁的體積，直接利用體積公式求解；
（2）取AB的中點G，連接A₁G，則∠EA₁G即為兩異面直線D₁F與A₁E所成角，在△A₁GE中直接利用余弦定理即可求解．
點評：本題考查空間點、線、面的位置關系及學生的空間想象能力、求異面直線角的能力．在立體幾何中找平行線是解決問題的一個重要技巧，這個技巧就是通過三角形的中位線找平行線，如果試題的已知中涉及到多個中點，則找中點是出現平行線的關鍵技巧，此題是中檔題．